§ 24. Кривая второго порядка

24.1. Общее уравнение кривой второго порядка. В плоскости, в некоторой прямоугольной системе координат х, у, пусть задана кривая, определяемая неявно уравнением второй степени

178

Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = 0, (1)

где A, В, С, D, Е, F - заданные действительные числа. При этом числа А, В, С одновременно не равны нулю. Эта кривая называется кривой второго порядка. На самом деле может случиться, что нет вовсе точек (х, у) с действительными координатами, удовлетворяющих уравнению (1). В этом случае говорят, что уравнение (1) определяет мнимую кривую второго порядка. Мы не будем изучать мнимые кривые. Уравнение

х2 + у2 = -1

может служить примером уравнения второй степени, определяющего мнимую кривую.

24.2. Важные случаи общего уравнения кривой второго порядка. Перечислим шесть важнейших частных случаев общего уравнения (1):

1) Уравнение эллипса

x2
a2
  +
y2
b2
  = 1 (a, b > 0)

с полуосями длины а и b. В частности, при а = b уравнение окружности

х2 + у2 = а2

с центром в начале координат и радиусом а.

2) Уравнение гиперболы

x2
a2
  -
y2
b2
  = 1 (ab ≥ 0)

с полуосями а и b.

3) Уравнение параболы

у2 = 2рх (р > 0).

179

4) Уравнение пары пересекающихся прямых

а2х2 - b2у2 = 0 (0 < а, b).

5) Уравнение пары параллельных или совпадающих прямых

х2 - а2 = 0 (а ≥ 0).

6) Уравнение, определяющее точку,

х2 + у2 = 0.

Остановимся вкратце на перечисленных кривых.

Эллипс

x2
a2
  +
y2
b2
  = 1 (ab > 0) (2)

При а = b эллипс (2) обращается в окружность радиуса а с центром в начале координат, т. е. геометрическое место точек, отстоящих от начала на расстоянии а.

Пусть а > b. Положим с = a2 - b2. Отметим на оси х точки F1, F2, имеющие абсциссы х = -с и х = с. Это фокусы эллипса. Эллипс (2) можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний которых до фокусов F1, F2 есть величина постоянная, равная 2а.

В самом деле (рис. 37),

MF1 = (x + c)2 + y2, MF2 = (x - c)2 + y2,

2a = (x + c)2 + y2 + (x - c)2 + y2,

откуда

2a - (x + c)2 + y2 = (x - c)2 + y2

и

4a2 + (x + c)2 + y2 - 4a(x + c)2 + y2 = (x - c)2 + y2,

180

4a2 + 4cx = 4a(x + c)2 + y2,

a2 + 2a2cx + c2x2 = a2[x2 + 2cx + c2 + y2],

-b2x2 = -a2b2 + a2y2,

a2b2 = b2x2 + a2y2,

откуда следует уравнение (2). Если проследить эти выкладки в обратном порядке, то получим, что если точка (x, y) удовлетворяет уравнению (2), то сумма ее расстояний до F1 и F2 равна 2а.

Если в уравнении (2) заменить х на , то оно не изменится - это показывает, что эллипс (2) есть кривая, симметричная относительно оси у. Аналогично эллипс (2) симметричен относительно оси х, потому что его уравнение не изменяется при замене у на . Но тогда достаточно изучить его уравнение в первой четверти (системы координат), т. е. для х, у ≥ 0. Часть эллипса, находящаяся в первой четверти, определяется уравнением

у =

b
a
 a2 - x2 (0 ≤ ха).

Из этого уравнения видим, что наш эллипс проходит через точки (0, b) и (а, 0). При этом его ордината у при непрерывном возрастании х на отрезке [0, а] непрерывно убывает.

Эллипс - ограниченная кривая. Он находится внутри круга радиуса а с центром в начале координат (для координат любой точки эллипса (х, у) имеет место неравенство

Из рис. 37 мы видим, что эллипс есть непрерывная замкнутая кривая. В первой четверти это выпуклая вверх

181

Рис. 37
Рис. 37

кривая. В любой ее точке можно провести касательную1. Все эти свойства и многие другие могут быть с успехом изучены методами математического анализа, который к тому же дает средства для точного определения высказанных выше понятий - непрерывность, выпуклость и т. д.

Уравнение эллипса можно записать еще в параметрической форме

(3)

В самом деле

x2
a2
  +
y2
b2
  = cos2θ + sin2θ = 1

т. е. точка (х, у), определяемая равенствами (3) при любом 0 принадлежит эллипсу (2). Если G непрерывно пробегает полуинтервал [0, 2π), то точка (х, у) описывает полный эллипс. При дальнейшем возрастании 0 движение периодически повторяется.

Выясним смысл параметра 9 и попутно укажем способ построения эллипса (рис. 38). Проведем две концентрических

182

Рис. 38
Рис. 38

окружности радиусов b и а (b < а) с центром в точке О. Затем проведем радиус-вектор под углом θ к оси х и обозначим его точки пересечения с окружностями радиуса b и а соответственно Т и N. Из точки N проведем прямую, параллельную оси у, а из точки Т - прямую, параллельную оси х. Точка пересечения этих прямых М принадлежит эллипсу. В самом деле, пусть х - абсцисса точки М, а у - ордината этой точки. Тогда (см. рис. 38)

х = ON ∙ cos θ = a cos θ,

у = TR = ОТ ∙ sin θ = b sin θ,

т. е. точка М действительно находится на эллипсе (3) и параметр θ есть угол между осью х и лучом ON. Отметим, что θ не является полярным углом φ, который образует радиус-вектор ОМ с осью х (tg φ =

b
a
  tg θ). Например, если φ = π/4, а = 3 , b = 1, то θ = π/3; если φ = 0, то θ = 0; если φ = π/2, то θ = π/2.

183

Рис. 39
Рис. 39

Гипербола

x2
a2
  -
y2
b2
  = 1 (0 < a, b) (4)

Положим с = a2 + b2 и отметим на оси х точки F1 и F2 - фокусы гиперболы (4), имеющие абсциссы x = -с и x = с (рис. 39).

Гипербола (4) может быть определена также как геометрическое место точек А = (х, у), разность расстояний которых до фокусов F1 и F2 есть величина постоянная, равная 2а.

Имеем (см. рис. 39)

AF1 - AF2 = (x + c)2 + y2 - (x - c)2 + y2 = 2a,

(x + c)2 + y2 = (x - c)2 + y2 + 2a,

4cx - 4a2 = 4a(x - c)2 + y2,

b2x2 - a2y2 = a2b2

откуда следует уравнение (4).

184

Мы получили правую ветвь гиперболы (см. рис. 39). Чтобы получить левую ветвь, надо исходить из равенства

AF2 - АF1 = 2а.

Рассуждениями, проведенными в обратном порядке, можно заключить, отправляясь от уравнения (4), что точки (х, у) ему удовлетворяющие, принадлежат к указанному выше геометрическому месту.

По виду уравнения (4) заключаем, что гипербола (4) симметрична относительно оси х и оси у. Часть гиперболы (4), находящаяся в первой четверти, имеет уравнение

у =

b
a
 x2 - а2 (ах < ∞). (5)

Мы видим, что наша гипербола проходит через точку (а, 0) и при возрастании х на полуинтервале [а, ∞) ордината у возрастает и стремится к бесконечности. Точки В = (-а, 0) и С = (а, 0), в которых гипербола пересекает ось х, называются вершинами гиперболы.

На рис. 39 нарисованы две прямые:

у = ±

b
a
  х.

Это асимптоты нашей гиперболы.

Пусть на полуинтервале [а, ∞) (или (-∞, а]) задана кривая у = f(x). Говорят, что прямая у = тх + п есть асимптота этой кривой при х → +∞ (х → -∞), если

lim
x→∞
  [f(x) - тх - п] = 0

(соответственно

lim
x→∞
 [f(x) - тх - п] = 0).

Рассмотрим кусок нашей гиперболы, определяемый равенством (5), и сравним его с прямой у =

b
a
 х. Предел

185

Это показывает, что прямая у =

b
a
 х есть асимптота рассматриваемого куска гиперболы при х → +∞. Но тогда говорят, что прямая у =
b
a
 х есть асимптота (всей!) гиперболы при х → +∞. В силу симметрии нашей гиперболы относительно осей, так же как симметрии пары прямых у = ±
b
a
 х относительно осей, можно сказать, что обе эти прямые являются асимптотами нашей гиперболы и притом как при х → +∞, так и при х → -∞.

Правая ветвь гиперболы (4) может быть записана в параметрическом виде

(6)

В самом деле, так как

ch2u - sh2u = 1 (7)

то из уравнений (6) получим

x2
a2
  -
y2
b2
  = ch2u - sh2 u = 1

Верхняя половина правой ветви гиперболы соответствует изменению и ∈ [0, ∞), а нижняя - изменению и ∈ (-∞, 0].

186

Выясним, как параметр и связан с параметром θ в параметрическом уравнении эллипса, и попутно укажем способ построения гиперболы с помощью циркуля и линейки. Так как наш способ построения гиперболы будет основан на способе построения эллипса, то мы изложим эти два способа построения совместно (рис. 40). Ограничимся построением частей эллипса (2) и гиперболы (6), находящихся в первой четверти. Проведем две концентрические окружности радиуса а и b с центром в начале координат. Проведем луч, выходящий из начала координат под углом θ0 к оси х. Пусть Т1 и Nl - точки пересечения этого луча с указанными окружностями (ОТ1 = b, ON1 = а). Проводя из точек Т1 и N1 прямые, параллельные осям х и у соответственно, получим точку их пересечения Мэ = (х0, у0), принадлежащую эллипсу (2). Затем проводим луч ОМЭ. Пусть N2 - точка пересечения этого луча с окружностью радиуса а; Р - точка пересечения этого луча с прямой, параллельной оси у и проходящей через точку эллипса А=(а, 0). Уравнение луча ОР можно записать:

y =

y0
x0
 x

Отсюда следует, что ордината точки Р равна Y0 =

ay0
x0
 . Далее соединим точку B1 = (х0, 0) с точкой N2 и из точки А

Рис. 40
Рис. 40

187

проведем прямую, параллельную B1N2, которая пересечет луч ОР в точке Q.

Из подобия треугольников OAQ и ОВ1N2 получим, что OQ = а2BREAK/х0. Радиусом OQ на оси х отмечаем точку В2=(а2BREAK/х0, 0).

Теперь из точек В2 и Р проводим прямые, параллельные осям у и х соответственно. Точка пересечения этих прямых Мr = (X0, Y0), где X0 = а2BREAK/x0 принадлежит гиперболе (4).

В самом деле, так как точка (х0, y0) лежит на эллипсе (2), то

т. е. точка Мr принадлежит гиперболе (4).

Отметим, что точка В2 = (а2BREAK/х0, 0) является точкой пересечения касательной к эллипсу в точке Мэ с осью х (см. сноску на стр. 139).

Таким образом, каждой точке (х, у) эллипса (2) соответствует вполне определенная точка (X, Y) гиперболы (4) и обратно.

Теперь, если эллипс (2) задан параметрически, то

х = a cos θ, у = b sin θ.

Поэтому

X =

a2
x
  =
a
cos θ
 , Y =
ay
x
  = b tg θ.

Отсюда, учитывая (6), получаем

ch u =

1
cos θ
 , sh u = tg θ.

Имеют место также следующие формулы:

tg

θ
2
  =
1 - cos θ
1 + cos θ
 
=
chu - 1
chu + 1
 
= tg
u
2
 ;

eu = ch u + sh u =

1
cos θ
  + tg θ =
1 + sin θ
cos θ
  =

188

т. е.

Парабола

у2 = 2рх (р > 0). (8)

Отметим на оси х точку F с абсциссой х = р/2, называемую фокусом параболы (8), и проведем прямую х = -р/2, называемую директрисой параболы (8) (рис. 41).

Парабола (8) может быть еще определена как геометрическое место точек А = (х, у), равноудаленных от фокуса и директрисы. В самом деле (см. рис. 41)

Рис. 41
Рис. 41

189

следовательно.

т. е.

у2 = 2рх.

Обратно, из этого уравнения следует, что точки, ему удовлетворяющие, принадлежат к указанному геометрическому месту точек.

Из уравнения (8) видно, что парабола (8) симметрична относительно оси х. Ее верхняя половина имеет уравнение

у = 2px (0 ≤ х < ∞), (9)

из которого видно, что когда х пробегает полуинтервал [0, ∞) возрастая, ордината у возрастает от 0 до ∞.

Укажем простой способ построения параболы (9) с помощью линейки и прямого угла или с помощью циркуля и линейки. Проведем прямую х = -2р (рис. 42). Возьмем на этой прямой произвольную точку К = (-2р, у), у > 0. Соединим эту точку с началом координат и проведем прямую, проходящую через начало координат, перпендикулярную к прямой ОК. Далее проводим прямую через точку К параллельно оси х. Последние две прямые пересекаются в точке М = (х, у), которая принадлежит параболе (9), так как ОА = у есть среднее геометрическое чисел 2р и х (у = 2рх ).

Парабола (8) не имеет асимптот1.

190

Рис. 42
Рис. 42

Пара пересекающихся прямых

а2х2 - b2у2 = (ах - )(ах + by) = 0 (0 < at b). (10)

Если какая-либо точка (х, у) удовлетворяет уравнению (10), то она удовлетворяет одному из уравнений

(10’)

или обоим. Обратно, если точка (х, у) удовлетворяет одному из уравнений (10'), то она удовлетворяет и уравнению (10). В этом смысле говорят, что (10) есть уравнение пары прямых.

24.3. Классификация кривых второго порядка

Ниже будет доказано, что существует прямоугольная система координат такая, что в ней кривая (1), если она не мнимая, имеет одно из перечисленных выше уравнений 1) - 6).

Более детально:

  • при АС - В2 > 0 кривая (1) есть эллипс, точка (случаи 1), 6)) или мнимая кривая;
  • при АС - В2 < 0 кривая (1) есть гипербола или пара пересекающихся (разных) прямых (случаи 2), 4));

191

  • при AC - В2 = 0 кривая (1) есть парабола, пара параллельных или совпадающих прямых или мнимая кривая (случаи 3), 5)).

Мы позволяем себе говорить "кривая" даже и в случаях 4), 5), 6), когда речь идет о паре прямых или множестве, состоящем из одной точки.

Итак, пусть задано уравнение

Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = 0, (1)

где коэффициенты А, В, С одновременно не равны нулю.

Не нарушая общности, можно считать, что А ≥ 0, АС, В ≥ 0. К этой ситуации всегда можно прийти с помощью ортогональных преобразований:

и умножения левой и правой частей (1) на - 1.

Если В = 0, А ≥ С ≥ 0, то (1) можно записать в виде

Параллельный перенос

ξ = x +

D
A
 , η = y +
E
C
 

преобразует уравнение (11) следующим образом:

Aξ2 + Cη2 =

E2
C
  +
D2
A
  - F. (11')

Если число -

E2
C
  +
D2
A
  - F > 0, то уравнение (11') представляет собой уравнение эллипса (случай 1)) с полуосями а, b, где

192

Отметим, что в данном случае АС - В2 = АС > 0.

Если же правая часть уравнения (11') равна нулю, то мы получаем точку (случай 6)).

При отрицательной правой части уравнение (11') дает мнимую кривую.

Если число С = 0, А > 0, то (1) можно записать в виде

(12)

Пусть число Е ≠ 0, тогда параллельный перенос

ξ = x +

D
A
 , η = y +
F
2E
  -
D2
2AE
 

преобразует уравнение (12) в уравнение

Аξ2 + 2Еη = 0, (12')

которое (после замены, если нужно, η на -η) представляет собой уравнение параболы (случай 3))"

Если Е = 0, то в зависимости от знака числа

D2
A
  - F, мы получим пару параллельных прямых или мнимую кривую. Отметим, что здесь АС - В2 = 0.

Далее, если число С < 0, А > 0, то уравнение (1) можно записать:

анализ которого проводится так же, как в случае уравнения (11). Уравнение (13) дает гиперболу или пару пересекающихся прямых (случаи 2) и 4)). Отметим, что в данном случае АС - B2 = АС < 0.

193

Случай А = 0, С < 0 сводится к уравнению типа (12).

Итак, при В = 0 уравнение (1) всегда дает один из частных случаев 1)-6).

Пусть теперь В > 0, АС. Тогда, как мы знаем (см. § 23), существует ортогональное преобразование

(14)

где

которое приводит квадратичную форму

Ах2 + 2Вху + Су2

к каноническому виду.

Преобразуем уравнение (1) с помощью (14):

λ1ξ2 + λ2η2 + D(x1ξ - у1η) + Е(у1ξ + х1η) + F = 0, (15)

где

1 > λ21λ2 = АС - B2). Перепишем уравнение (15) в виде λ1ξ2 + λ2η2 + (x1D + у1Е)ξ + (х1Е - y1D)η + F = 0. (15’)

Уравнение (15') является частным случаем уравнения (1) при В = 0, которое мы уже исследовали.

Таким образом, мы можем сказать, что если:

194

  • 1) AC - В2 = λ1λ2 > 0, то уравнение (1) представляет собой эллипс, точку или мнимую кривую. В этом случае будем говорить, что уравнение (1) принадлежит эллиптическому типу;
  • 2) АС - В2 = λ1λ2 < 0, то уравнение (1) представляет собой гиперболу или пару пересекающихся прямых. В этом случае будем говорить, что уравнение (1) принадлежит гиперболическому типу;
  • 3) АС - В2 = λ1λ2 = 0, то уравнение (1) изображает параболу, пару параллельных прямых или мнимую кривую, В этом случае будем говорить, что уравнение (1) принадлежит параболическому типу.

Пример 1. Выяснить характер кривой

2х2 + 3 ху + у2 + 2х + 23 у + F = 0,

где F - произвольное действительное число.

В данном случае А = 2 > С = 1, В =

5
4
  > 0, АС - В2 = > 0, т. е. уравнение принадлежит эллиптическому типу. Легко подсчитать (см. пример в § 23), что

x1 =

3
2
 , y1 =
1
2
 , λ1 =
5
2
 , λ2 =
1
2
 .

Поэтому с помощью ортогонального преобразования

x =

1
2
  (3ξ - η),

y =

1
2
  (ξ + 3η)

наше уравнение запишется

195

5
2
 ξ2 +
1
2
 η2 + (3ξ - η) + 3(ξ + 3η) + F = 0

или

Осуществим еще параллельный перенос

u = ξ +

2
5
 3,

v = η + 2,

тогда будем иметь

5
2
 u2 +
1
2
 v2 =
16
5
  - F. (16)

Если

16
5
  - F > 0, то (16) будет уравнением эллипса с 5 полуосями а, b, где

а2 = 2(16 - 5F)/25, b2 = 2(16 - 5F)/5.

Если

16
5
  - F = 0, то (16) дает точку. Если
16
5
  - F < 0, то (16) представляет мнимую кривую.

196


1См. нашу книгу "Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление", §4.2.

1См. нашу книгу "Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление", § 4.20.

Rambler's Top100
Lib4all.Ru © 2010.