§ 24. Кривая второго порядка

24.1. Общее уравнение кривой второго порядка. В плоскости, в некоторой прямоугольной системе координат х, у, пусть задана кривая, определяемая неявно уравнением второй степени

178

Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + 2Еу + F = 0, (1)

где A, В, С, D, Е, F - заданные действительные числа. При этом числа А, В, С одновременно не равны нулю. Эта кривая называется кривой второго порядка. На самом деле может случиться, что нет вовсе точек (х, у) с действительными координатами, удовлетворяющих уравнению (1). В этом случае говорят, что уравнение (1) определяет мнимую кривую второго порядка. Мы не будем изучать мнимые кривые. Уравнение

х² + у² = -1

может служить примером уравнения второй степени, определяющего мнимую кривую.

24.2. Важные случаи общего уравнения кривой второго порядка. Перечислим шесть важнейших частных случаев общего уравнения (1):

1) Уравнение эллипса

x2

a2

  +

y2

b2

  = 1 (a, b > 0)

с полуосями длины а и b. В частности, при а = b уравнение окружности

х² + у² = а²

с центром в начале координат и радиусом а.

2) Уравнение гиперболы

x2

a2

  -

y2

b2

  = 1 (a ≥ b ≥ 0)

с полуосями а и b.

3) Уравнение параболы

у² = 2рх (р > 0).

179

4) Уравнение пары пересекающихся прямых

а²х² - b²у² = 0 (0 < а, b).

5) Уравнение пары параллельных или совпадающих прямых

х² - а² = 0 (а ≥ 0).

6) Уравнение, определяющее точку,

х² + у² = 0.

Остановимся вкратце на перечисленных кривых.

Эллипс

x2

a2

  +

y2

b2

  = 1 (a ≥ b > 0) (2)

При а = b эллипс (2) обращается в окружность радиуса а с центром в начале координат, т. е. геометрическое место точек, отстоящих от начала на расстоянии а.

Пусть а > b. Положим с = √a² - b². Отметим на оси х точки F₁, F₂, имеющие абсциссы х = -с и х = с. Это фокусы эллипса. Эллипс (2) можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний которых до фокусов F₁, F₂ есть величина постоянная, равная 2а.

В самом деле (рис. 37),

MF₁ = √(x + c)² + y², MF₂ = √(x - c)² + y²,

2a = √(x + c)² + y² + √(x - c)² + y²,

откуда

2a - √(x + c)² + y² = √(x - c)² + y²

и

4a² + (x + c)² + y² - 4a√(x + c)² + y² = (x - c)² + y²,

180

4a² + 4cx = 4a√(x + c)² + y²,

a² + 2a²cx + c²x² = a²[x² + 2cx + c² + y²],

-b²x² = -a²b² + a²y²,

a²b² = b²x² + a²y²,

откуда следует уравнение (2). Если проследить эти выкладки в обратном порядке, то получим, что если точка (x, y) удовлетворяет уравнению (2), то сумма ее расстояний до F₁ и F₂ равна 2а.

Если в уравнении (2) заменить х на -х, то оно не изменится - это показывает, что эллипс (2) есть кривая, симметричная относительно оси у. Аналогично эллипс (2) симметричен относительно оси х, потому что его уравнение не изменяется при замене у на -у. Но тогда достаточно изучить его уравнение в первой четверти (системы координат), т. е. для х, у ≥ 0. Часть эллипса, находящаяся в первой четверти, определяется уравнением

у =

b

a

 √a² - x² (0 ≤ х ≤ а).

Из этого уравнения видим, что наш эллипс проходит через точки (0, b) и (а, 0). При этом его ордината у при непрерывном возрастании х на отрезке [0, а] непрерывно убывает.

Эллипс - ограниченная кривая. Он находится внутри круга радиуса а с центром в начале координат (для координат любой точки эллипса (х, у) имеет место неравенство

Из рис. 37 мы видим, что эллипс есть непрерывная замкнутая кривая. В первой четверти это выпуклая вверх

181

кривая. В любой ее точке можно провести касательную¹. Все эти свойства и многие другие могут быть с успехом изучены методами математического анализа, который к тому же дает средства для точного определения высказанных выше понятий - непрерывность, выпуклость и т. д.

Уравнение эллипса можно записать еще в параметрической форме

(3)

В самом деле

x2

a2

  +

y2

b2

  = cos²θ + sin²θ = 1

т. е. точка (х, у), определяемая равенствами (3) при любом 0 принадлежит эллипсу (2). Если G непрерывно пробегает полуинтервал [0, 2π), то точка (х, у) описывает полный эллипс. При дальнейшем возрастании 0 движение периодически повторяется.

182

183

Гипербола

x2

a2

  -

y2

b2

  = 1 (0 < a, b) (4)

Положим с = √a² + b² и отметим на оси х точки F₁ и F₂ - фокусы гиперболы (4), имеющие абсциссы x = -с и x = с (рис. 39).

Гипербола (4) может быть определена также как геометрическое место точек А = (х, у), разность расстояний которых до фокусов F₁ и F₂ есть величина постоянная, равная 2а.

Имеем (см. рис. 39)

AF₁ - AF₂ = √(x + c)² + y² - √(x - c)² + y² = 2a,

√(x + c)² + y² = √(x - c)² + y² + 2a,

4cx - 4a² = 4a√(x - c)² + y²,

b²x² - a²y² = a²b²

откуда следует уравнение (4).

184

Мы получили правую ветвь гиперболы (см. рис. 39). Чтобы получить левую ветвь, надо исходить из равенства

AF₂ - АF₁ = 2а.

Рассуждениями, проведенными в обратном порядке, можно заключить, отправляясь от уравнения (4), что точки (х, у) ему удовлетворяющие, принадлежат к указанному выше геометрическому месту.

По виду уравнения (4) заключаем, что гипербола (4) симметрична относительно оси х и оси у. Часть гиперболы (4), находящаяся в первой четверти, имеет уравнение

у =

b

a

 √x² - а² (а ≤ х < ∞). (5)

Мы видим, что наша гипербола проходит через точку (а, 0) и при возрастании х на полуинтервале [а, ∞) ордината у возрастает и стремится к бесконечности. Точки В = (-а, 0) и С = (а, 0), в которых гипербола пересекает ось х, называются вершинами гиперболы.

На рис. 39 нарисованы две прямые:

у = ±

b

a

  х.

Это асимптоты нашей гиперболы.

Пусть на полуинтервале [а, ∞) (или (-∞, а]) задана кривая у = f(x). Говорят, что прямая у = тх + п есть асимптота этой кривой при х → +∞ (х → -∞), если

lim

x→∞

  [f(x) - тх - п] = 0

(соответственно

lim

x→∞

 [f(x) - тх - п] = 0).

Рассмотрим кусок нашей гиперболы, определяемый равенством (5), и сравним его с прямой у =

b

a

 х. Предел

185

Это показывает, что прямая у =

b

a

 х есть асимптота рассматриваемого куска гиперболы при х → +∞. Но тогда говорят, что прямая у =

b

a

 х есть асимптота (всей!) гиперболы при х → +∞. В силу симметрии нашей гиперболы относительно осей, так же как симметрии пары прямых у = ±

b

a

 х относительно осей, можно сказать, что обе эти прямые являются асимптотами нашей гиперболы и притом как при х → +∞, так и при х → -∞.

Правая ветвь гиперболы (4) может быть записана в параметрическом виде

(6)

В самом деле, так как

ch²u - sh²u = 1 (7)

то из уравнений (6) получим

x2

a2

  -

y2

b2

  = ch²u - sh² u = 1

Верхняя половина правой ветви гиперболы соответствует изменению и ∈ [0, ∞), а нижняя - изменению и ∈ (-∞, 0].

186

187

188

Парабола

у² = 2рх (р > 0). (8)

Отметим на оси х точку F с абсциссой х = р/2, называемую фокусом параболы (8), и проведем прямую х = -р/2, называемую директрисой параболы (8) (рис. 41).

Парабола (8) может быть еще определена как геометрическое место точек А = (х, у), равноудаленных от фокуса и директрисы. В самом деле (см. рис. 41)

189

следовательно.

т. е.

у² = 2рх.

Обратно, из этого уравнения следует, что точки, ему удовлетворяющие, принадлежат к указанному геометрическому месту точек.

Из уравнения (8) видно, что парабола (8) симметрична относительно оси х. Ее верхняя половина имеет уравнение

у = √2px (0 ≤ х < ∞), (9)

из которого видно, что когда х пробегает полуинтервал [0, ∞) возрастая, ордината у возрастает от 0 до ∞.

Укажем простой способ построения параболы (9) с помощью линейки и прямого угла или с помощью циркуля и линейки. Проведем прямую х = -2р (рис. 42). Возьмем на этой прямой произвольную точку К = (-2р, у), у > 0. Соединим эту точку с началом координат и проведем прямую, проходящую через начало координат, перпендикулярную к прямой ОК. Далее проводим прямую через точку К параллельно оси х. Последние две прямые пересекаются в точке М = (х, у), которая принадлежит параболе (9), так как ОА = у есть среднее геометрическое чисел 2р и х (у = √2рх ).

Парабола (8) не имеет асимптот¹.

190

Пара пересекающихся прямых

а²х² - b²у² = (ах - bу)(ах + by) = 0 (0 < at b). (10)

Если какая-либо точка (х, у) удовлетворяет уравнению (10), то она удовлетворяет одному из уравнений

(10’)

или обоим. Обратно, если точка (х, у) удовлетворяет одному из уравнений (10'), то она удовлетворяет и уравнению (10). В этом смысле говорят, что (10) есть уравнение пары прямых.

24.3. Классификация кривых второго порядка

Ниже будет доказано, что существует прямоугольная система координат такая, что в ней кривая (1), если она не мнимая, имеет одно из перечисленных выше уравнений 1) - 6).

Более детально:

• при АС - В² > 0 кривая (1) есть эллипс, точка (случаи 1), 6)) или мнимая кривая;
• при АС - В² < 0 кривая (1) есть гипербола или пара пересекающихся (разных) прямых (случаи 2), 4));

191

• при AC - В² = 0 кривая (1) есть парабола, пара параллельных или совпадающих прямых или мнимая кривая (случаи 3), 5)).

Мы позволяем себе говорить "кривая" даже и в случаях 4), 5), 6), когда речь идет о паре прямых или множестве, состоящем из одной точки.

Итак, пусть задано уравнение

Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + 2Еу + F = 0, (1)

где коэффициенты А, В, С одновременно не равны нулю.

Не нарушая общности, можно считать, что А ≥ 0, А ≥ С, В ≥ 0. К этой ситуации всегда можно прийти с помощью ортогональных преобразований:

и умножения левой и правой частей (1) на - 1.

Если В = 0, А ≥ С ≥ 0, то (1) можно записать в виде

Параллельный перенос

ξ = x +

D

A

 , η = y +

E

C

 

преобразует уравнение (11) следующим образом:

Aξ² + Cη² =

E2

C

  +

D2

A

  - F. (11')

Если число -

E2

C

  +

D2

A

  - F > 0, то уравнение (11') представляет собой уравнение эллипса (случай 1)) с полуосями а, b, где

192

Отметим, что в данном случае АС - В² = АС > 0.

Если же правая часть уравнения (11') равна нулю, то мы получаем точку (случай 6)).

При отрицательной правой части уравнение (11') дает мнимую кривую.

Если число С = 0, А > 0, то (1) можно записать в виде

(12)

Пусть число Е ≠ 0, тогда параллельный перенос

ξ = x +

D

A

 , η = y +

F

2E

  -

D2

2AE

 

преобразует уравнение (12) в уравнение

Аξ² + 2Еη = 0, (12')

которое (после замены, если нужно, η на -η) представляет собой уравнение параболы (случай 3))"

Если Е = 0, то в зависимости от знака числа

D2

A

  - F, мы получим пару параллельных прямых или мнимую кривую. Отметим, что здесь АС - В² = 0.

Далее, если число С < 0, А > 0, то уравнение (1) можно записать:

анализ которого проводится так же, как в случае уравнения (11). Уравнение (13) дает гиперболу или пару пересекающихся прямых (случаи 2) и 4)). Отметим, что в данном случае АС - B² = АС < 0.

193

Случай А = 0, С < 0 сводится к уравнению типа (12).

Итак, при В = 0 уравнение (1) всегда дает один из частных случаев 1)-6).

Пусть теперь В > 0, А ≥ С. Тогда, как мы знаем (см. § 23), существует ортогональное преобразование

(14)

где

которое приводит квадратичную форму

Ах² + 2Вху + Су²

к каноническому виду.

Преобразуем уравнение (1) с помощью (14):

λ₁ξ² + λ₂η² + D(x₁ξ - у₁η) + Е(у₁ξ + х₁η) + F = 0, (15)

где

(λ₁ > λ₂,λ₁λ₂ = АС - B²). Перепишем уравнение (15) в виде λ₁ξ² + λ₂η² + (x₁D + у₁Е)ξ + (х₁Е - y₁D)η + F = 0. (15’)

Уравнение (15') является частным случаем уравнения (1) при В = 0, которое мы уже исследовали.

Таким образом, мы можем сказать, что если:

194

• 1) AC - В² = λ₁λ₂ > 0, то уравнение (1) представляет собой эллипс, точку или мнимую кривую. В этом случае будем говорить, что уравнение (1) принадлежит эллиптическому типу;
• 2) АС - В² = λ₁λ₂ < 0, то уравнение (1) представляет собой гиперболу или пару пересекающихся прямых. В этом случае будем говорить, что уравнение (1) принадлежит гиперболическому типу;
• 3) АС - В² = λ₁λ₂ = 0, то уравнение (1) изображает параболу, пару параллельных прямых или мнимую кривую, В этом случае будем говорить, что уравнение (1) принадлежит параболическому типу.

Пример 1. Выяснить характер кривой

2х² + √3 ху + у² + 2х + 2√3 у + F = 0,

где F - произвольное действительное число.

В данном случае А = 2 > С = 1, В =

5

4

  > 0, АС - В² = > 0, т. е. уравнение принадлежит эллиптическому типу. Легко подсчитать (см. пример в § 23), что

x₁ =

√3

2

 , y₁ =

1

2

 , λ₁ =

5

2

 , λ₂ =

1

2

 .

Поэтому с помощью ортогонального преобразования

x =

1

2

  (√3ξ - η),

y =

1

2

  (ξ + √3η)

наше уравнение запишется

195

5

2

 ξ² +

1

2

 η² + (√3ξ - η) + √3(ξ + √3η) + F = 0

или

Осуществим еще параллельный перенос

u = ξ +

2

5

 √3,

v = η + 2,

тогда будем иметь

5

2

 u² +

1

2

 v² =

16

5

  - F. (16)

Если

16

5

  - F > 0, то (16) будет уравнением эллипса с 5 полуосями а, b, где

а² = 2(16 - 5F)/25, b² = 2(16 - 5F)/5.

Если

16

5

  - F = 0, то (16) дает точку. Если

16

5

  - F < 0, то (16) представляет мнимую кривую.

196

---