§ 8. Прямая линия

Понятие прямой является первичным в геометрии. Из аксиом геометрии мы знаем, что через две точки проходит единственная прямая и через точку, лежащую на данной

69

прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной.

В плоскости зададим прямоугольную систему координат х, у и прямую L, не параллельную оси у (рис. 12).

Из школьного курса мы знаем, что уравнение прямой L имеет вид

y = kx + l, (1)

где k = tgα и α - угол, образованный прямой L с положительным направлением оси х, а l - ордината точки пересечения L с осью у (l = ОВ).

Когда говорят, что уравнение (1) есть уравнение прямой L, этим хотят выразить, что L есть геометрическое место точек, координаты которых (х, у) удовлетворяют уравнению (1). Справедливость этого утверждения легко усмотреть из рис. 12. Точка А есть произвольная (текущая) точка прямой L, имеющая координаты (х, у) ВС = д:, АС = у - l и

k = tgα =

y-i

х

 

откуда следует (1). Обратно, равенство (1) эквивалентно равенству (1'), а последнее выражает, очевидно, тот факт, что точка (х, у) лежит на прямой L. На рис. 12 угол а острый. В случае тупого угла а можно провести подобные рассуждения.

70

Зададим уравнение

Ах + By + С = 0, (2)

где А, В, С - заданные числа и к тому же А и В одновременно не равны нулю.

Если В ≠ 0, то уравнение (2) можно записать в следующем виде:

y = -

A

BOLD

  х = -

С

BOLD

  (2')

или, полагая

k = -

A

BOLD

 , i = -

C

BOLD

 

в виде (1). Так как уравнения (2) и (2 ) эквивалентны -любая точка (х, у), удовлетворяющая одному из них, удовлетворяет и другому, - то равенство (2) при В ≠ 0 есть уравнение прямой, наклоненной к положительному направлению оси х под углом ос, тангенс которого равен -А/В (tgα = -А/В), и пересекающей ось у в точке, имеющей ординату -С/В (l = -С/В). При В = 0 уравнение (2) принимает вид

Ах + С = 0 (А ≠ 0!),

или

х = а (а = -С/А).

Это тоже уравнение прямой, но только параллельной оси у. Именно, это есть геометрическое место точек (х, у), абсциссы х которых равны одному и тому же числу а. На рис. 13 изображена такая прямая при а > 0.

Из сказанного следует, что уравнение (2), где А, В, С - заданные числа и при этом А и BOLDодновременно не равны нулю, есть уравнение некоторой прямой. При В ≠ 0 эта

71

прямая не параллельна оси у. В частности, при А = 0 она параллельна оси х (у = -С/В). В случае же, если В = 0, то она параллельна оси у. Отметим, что ось х имеет, очевидно, уравнение у = 0, а ось у имеет уравнение х = 0.

Уравнение (2) называется уравнением прямой в общем виде. Любая прямая, как угодно расположенная по отношению к системе координат, может быть описана уравнением вида (2) при подходящих постоянных числах А, В, С. Подчеркнем, что числа А и В в уравнении (2) прямой одновременно не равны нулю. Отметим, что число k в уравнении (1) называют угловым коэффициентом прямой.

Решим несколько важных задач.

Задача 1. Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом, равным числу k, проходящей через заданную точку ( x₀, y₀).

Решение. Прямая с угловым коэффициентом k имеет вид

y = kx + l, (3)

где l может быть любым числом. Так как точка ( x₀, z₀) должна находиться на данной прямой, то должно выполняться равенство

y_о = kх₀ + l. (4)

Вычитая (4) из (3), получим искомое уравнение

y - y₀ = k(x - x₀) (5)

прямой, проходящей через точку (х₀, x₀) с угловым коэффициентом k.

Задача 2. Написать уравнение прямой, проходящей через заданные две точки (х₁, y₁) и (х₂ у₂). Предполагается, что эти точки разные.

Решение. Пусть х ≠ х₂ Тогда, очевидно, искомая прямая не параллельна оси у и потому может быть записана в виде

72

y - y₁ = k ( x - x₁) (6)

где k - некоторое число. Уравнение (6) уже выражает, что прямая проходит через точку (х₁, у₁). Чтобы она проходила также через точку (x₂, у₂), надо чтобы выполнялось равенство

y₂ - y₁ = k ( x₂ - x₁)- (7)

Деля (6) на (7) (т. е. деля левую часть (6) на левую часть (7), а правую часть (6) на правую часть (7)), получим

y - y1

y2 - y1

  =

x - x1

x2 - x1

  (8)

Это и есть уравнение прямой, проходящей через точки ( x₁, y₁) и (х₂, у₂).

Замечание 1. Могло случиться, что у₂ - y₁ =0, тогда формально мы получили бы равенство

y - y1

0

  =

x -x1

x2 - x1

 

Несмотря на бессмысленность этого равенства, так пишут - считают удобным. Если освободиться от знаменателей, то получим верное равенство

y- y₁= 0 ∙

x - x1

x2 - x1

  = 0

или

y = y₁ (9)

Случай x₁ = х₂ = с приводит к решению х = с.

Задача 3. Найти угол ω между прямыми

у = k₁х + l₁/,, у = k₂x = 1₂.

Решение. Имеем k ₁ = tgα, k₂ = tgα₂, где α₁ α₂ - соответственно углы, образованные данными прямыми с

73

положительным направлением оси х. Имеем (рис. 14)

tgω = tg(α₁ - α₂) =

tgα1 - tgα2

1 + tgα1 tgα2

  =

k1 - k2

1 + k1k2

  (10)

и мы получили формулу угла между прямыми.

Случай 1 + k₁k₂ = 0 или

k₁ ∙ k₂= -l (11)

выражает условие перпендикулярности прямых. Условие параллельности прямых (tgω = 0), запишется так

k₁ = k₂ (12)

Зададим уравнение прямой в общем виде:

Ах + By + С = 0. (2)

При А ≠ 0, В ≠ 0, С ≠ 0 уравнение (2) можно записать в форме

(13)

Уравнение (13) называется уравнением прямой в отрезках. Эта прямая пересекает ось x: (прямую у = 0) в точке ( а, 0) и ось у в точке (0, b).

74

Если прямая, удовлетворяющая уравнению (2), проходит через точку (х⁰, у⁰), то

Ах⁰ + Ву⁰ + С = 0. (14)

Вычитая (14) из (2), получим

А(х - х⁰) + В(у - y⁰) = 0. (15)

Уравнение (15) называется уравнением прямой, проходящей через точку (х⁰, у⁰).

Если ввести в рассмотрение векторы N = (А, В), ρ = (х, у), ρ⁰ = (х⁰, y⁰), то левую часть(15) можно рассматривать как скалярное произведение вектора N на вектор ρ - ρ⁰. Поэтому уравнение (15) в векторной форме имеет вид

N(ρ - ρ⁰) = 0. (15')

Вектор ρ - ρ⁰ принадлежит прямой L (рис. 15). Таким образом, из (15') видно, что вектор N = (А, В) ортогонален

(перпендикулярен) данной прямой, и тем самым мы выяснили геометрический смысл коэффициентов A и В. Рассмотрим две прямые

А₁х + В₁у + С₁ = 0 ( L ₁), (16)

А₂х + В₂у+ С₂ = 0 ( L₂). (17)

75

Так как векторы N₁ = (А₁, B₁) и N₂ = (A₂, В₂) перпендикулярны к прямым (16) и (17) соответственно, то угол φ между прямыми (16) и (17) равен углу между векторами N₁и N₂ (рис. 16). Угол φ можно вычислить по формуле

(18)

Замечание 2. Если φ - угол между прямыми, то π - φ также является углом между этими прямыми. Число (18) может быть положительным и отрицательным. Одно из них соответствует углу ф, а другое - углу π - φ.

Из (18) получаем условие перпендикулярности L₁ и L₂

(φ =

π

2

  , cos φ = 0):

А₁А₂ + В₁В₂ = 0. (19)

Если прямые L₁ и L₂ параллельны, то векторы N₁и N₂ коллинеарны и N₁ = λN₂, где λ - некоторое действительное число. Отсюда условие параллельности прямых выражается равенством

A1

A2

  =

B1

B2

  (20)

Пусть дана произвольная прямая L в прямоугольной системе координат (рис. 17), не проходящая через начало координат, и пусть а - вектор, выходящий из начала координат и перпендикулярный к прямой L с концом, лежащим на прямой. Вектор а полностью определяет прямую L (через конец вектора а проходит единственная прямая, перпендикулярная к нему).

76

Пусть р есть длина а (р = | а |), ν = (cos α, cos β) есть единичный вектор, направленный в ту же сторону, что и а. Здесь α, β - углы между а (или ν) и соответственно положительным направлением оси х и оси у; cos ²α + cos ²β = 1 (cos β = sin α). Обозначим через ρ = (х, у) радиус-вектор произвольной (текущей) точки прямой L. Проекция вектора ρ на единичный вектор ν, очевидно, равна p, т. е. скалярное произведение радиус-вектора произвольной точки ρ прямой L на вектор ν равно р:

(ρ, ν) = |v|np_vp = р. (21)

Итак, мы получили векторное уравнение L, потому что, и обратно, если радиус-вектор точки удовлетворяет уравнению (21), то точка лежит на L (точка, не лежащая на L, имеет проекцию на ν, отличную от р).

Если прямая L проходит через начало координат, то ее уравнение можно записать тоже в виде (21), где ν - единичный перпендикулярный к ней вектор и р = 0.

В координатной форме уравнение (21) имеет вид

xcos α + ycos β = р (р ≥ 0) (21')

или

xcos α + ysin α = р (р ≥ 0). (21'')

Уравнение (21') (или (21'')) называется уравнением прямой в нормальном виде.

Если прямая L задана общим уравнением

Ах + By + С = 0,

то его можно привести к нормальному виду, умножив на число

М = ±1√A²+B² , (22)

где надо выбрать знак, противоположный знаку С (р = -МС ≥ 0). Число М называется нормирующим множителем. Так как

77

( MA)² + (MB)² = 1,

то существует и притом единственный угол ос, удовлетворяющий неравенствам 0 ≤ α ≤ 2π, для которого

MA = cos α, MB = sin α. (23)

В результате мы получаем уравнение (21), где р = -МС ≥ ≥ 0. Отметим еще раз, что число р равно расстоянию от начала координат до прямой.

Задача 4. Найти расстояние d от точки до прямой L, определяемой уравнением

Ах + By + С = 0. (24)

Решение. Пусть

(ρ, ν) - р = 0 (25)

есть нормальное уравнение прямой (24). Таким образом, если С ≠ 0, то р (р > 0) есть длина вектора ОР→, опущенного из начала координат О на L (перпендикулярно к L), а ν - единичный вектор, направленный как ОР→ (р = | ОР→ | ν = ОР→/р (рис. 18)). Пусть р = (х, у) есть радиус-вектор произвольной точки L. Тогда, очевидно, чтобы найти расстояние от точки Q⁰, имеющей радиус-вектор ρ⁰ = ( x⁰, y⁰) до L, надо спроектировать вектор ρ - ρ⁰ на направление вектора ν и взять абсолютную величину проекции:

d = |np_ν (ρ - ρ⁰)| = |ρ - ρ⁰, ν)| = |(ρ, ν) - (ρ⁰, ν)| = |р - (ρ⁰, ν)) = |(ρ⁰, ν) - р|,

Мы получили формулу

d = |(ρ⁰, ν) - р|. (26)

Таким образом, чтобы получить расстояние d, надо привести уравнение (24) к нормальному виду, перенести р

78

в левую часть, подставить в левую часть вместо х, у соответствующие координаты x⁰, y⁰точки Q⁰ и взять абсолютную величину полученного выражения.

На языке коэффициентов А, В, С равенство (26) выглядит так:

d = |Ax⁰ + By⁰ + C|/√A2 + B2. (26')

При С = 0 формула (26), а следовательно и (26'), остается тоже верной. В этом случае р = 0, ν - один из двух единичных векторов, перпендикулярных к L (рис. 19).

Теперь

d = |пp_ν (ρ - ρ⁰)| - |(ρ - ρ⁰, ν)| - |(ρ, ν) - (ρ⁰, ν)| = |(ρ⁰, ν)|

или

d = |Ах⁰ + Ву⁰|/√А² + В² ,

т. е. формула (26') верна при С = 0.

Замечание 3. Из рис. 18 видно, что: а) если начало О и точка Q⁰ находятся по одну сторону от L, то угол между ν и ρ - ρ⁰ острый и d = р - (ρ⁰, ν); б) если же О и Q⁰ находятся по разные стороны от L, то угол между ρ - ρ⁰ и ν тупой и d = (ρ⁰, ν) - р.

79

Задача 5. Найти расстояние от точки (1, 1) до прямой

2 x + √5 y - √5 = 0.

80