§ 7. Отрезок. Деление отрезка в данном отношении

Зададим произвольные точки x, у Rn и введем множество точек (векторов):

z = λ х + μ у (λ, μ ≥ 0, λ, + μ = 1), (1)

определяемых неотрицательными числами λ, μ, сумма которых равна 1. Имеем

z = (1 - μ) X + μ y = х + μ ( у - х) (0 ≤ μ ≤ 1) (2)

или

z = у + λ( х - у) (0 ≤ λ ≤ 1). (2')

Из равенства (2) видно, что в трехмерном пространстве точки z заполняют отрезок, соединяющий х и у.Ведь радиус-вектор z есть сумма вектора х и вектора μ( y - х), коллинеарного с у - х (рис. 11). Таким образом, множество точек (1) представляет собой отрезок

Рис. 11
Рис. 11

67

[х, у] в R3, соединяющий точки х и у. При μ = 0 z = x при μ = 1 z = у, для любого μ > 0 (0 ≤ μ ≤ 1) z есть произвольная точка [ x, у].

По определению отрезком [ x, у], соединяющим точки х, у ∈ Rn, называется множество всех точек z вида (1). Справедлива

Теорема 1. Точка

z = λ x + μ у (λ, μ ≥ 0, λ + μ = 1)

делит отрезок [ х, у], соединяющий точки х, у ∈ Rn на отрезки с длинами, находящимися в отношении μ : λ.

Доказательство. Из (2) следует, что z - х = μ( y - х), и потому расстояние между точками х и z равно

| z - х| = μ| y - x | (3)

Далее, из (2') z - у = λ( x - у), и потому расстояние между точками z и у равно

| z - у| = λ| x - у |. (4)

Из (3) и (4) следует

| z - х| ∶ | z - у| = β ∶ λ,

что и требовалось доказать.

Задача. Требуется найти на отрезке [ х, у], соединяющем точки х, у Rn, точку z, делящую этот отрезок в отношении р ∶ q (р > 0, q > 0).

Решение. Возьмем числа

λ =

q
p + q
  , μ =
Р
p + q
  ( р ∁ 0, q ∁ 0, p + q > 0).

Они удовлетворяют свойствам λ, μ ≥ 0, λ + μ = 1, μ/λ = p/q. Поэтому на основании теоремы 1 искомая точка

z = λ x + μ y =

qx+ py
p + q
  (5)

68

Ее координаты z = (z1 ..., zn) выражаются через координаты х = ( x1 ..., хп), у = ( y 1, ..., уп) при помощи равенств

zj =

qxj + PYJ
p + q
  ( j =1, …, n). (5')

В частности, середина отрезка получается при р = q = 1, т. е. λ = μ = 1/2.

Отметим, что, как доказывается в механике, точка z, определяемая равенством (5) или (5'), есть центр тяжести системы точек х и у, в которых сконцентрированы массы соответственно q. и р.

Отметим, что в R3 множество точек

z = λ х + μ y, λ + μ = 1,

где λ, и μ любого знака представляет собой прямую, проходящую через точки х и у. Это видно из равенства (2').

В пространстве же Rn (n > 3) это множество называют прямой по определению.

Пример 1. Найти координаты центра тяжести системы материальных точек xk = (х1 k, х2 k, x3 k) соответственно с массамиk (k = 1,..., М). Применяя формулы (5') для точек х1, х2, найдем центр тяжести z 1точек х 1и х 2.Затем находим центр тяжести z 2точек z 1и х 3соответственно с массами р1 + р2 и р3.Продолжая этот процесс на (М - 1)-м шаге, получаем

(j = 1, 2, 3).

69

Rambler's Top100
Lib4all.Ru © 2010.