§ 26. Общая теория поверхности второго порядка в трехмерном пространстве

3
k=1
 
3
l=1
 aklxkxl + 2
3
l=1
 Alxl + B = 0 (1)

где аkl = alk, Аl, В - постоянные числа - коэффициенты уравнения.

В § 25 было перечислено восемь видов 1)-8) (частных случаев) уравнения (1) и была отмечена возможность доказательства того, что для каждого данного уравнения

217

(1), если оно не определяет мнимую поверхность, можно найти прямоугольную систему координат, в которой это уравнение имеет один из указанных видов.

Ниже дается доказательство этого утверждения.

Мы начинаем с того, что рассматриваем квадратичную форму, фигурирующую в левой части уравнения (1).

На основании теоремы 2 § 22 эту форму можно привести при помощи соответствующего ортогонального преобразования

xi =

3
s=1
 βisx
s
(i = 1, 2, 3) (2)

к следующему виду:

3
k=1
 
3
l=1
 aklxkxl = λ1x
’2
1
+ λ2x
’2
2
+ λ3x
’2
3
,

где λ1, λ2, λ3 - определенные действительные числа.

Подчеркнем, что равенства (2) определяют преобразование исходной прямоугольной системы координат х1, x2, x3 к некоторой другой прямоугольной системе х

1
, х
2
, x
3
. Точка, имеющая координаты (x1, x2, х3) в исходной системе, в новой системе имеет координаты (х1, x2, x3), получаемые посредством обращения операции (2).

В новой прямоугольной системе наша поверхность имеет, очевидно, уравнение

λ1x

’2
1
+ λ2x
’2
2
+ λ3x
’2
3
+ 2
3
k=1
 A
k
x
k
+ B = 0, (3)

где A

k
- некоторые постоянные числа.

Рассмотрим сначала случай, когда все три числа λ1, λ2, λ3 отличны от нуля (λi ≠ 0, i = 1, 2, 3).

В этом случае перенесем систему координат х

1
, х
2
, х
3
так, чтобы ее начальная точка перешла в точку (а1, а2, а3); тогда получим вторую прямоугольную систему координат ξ1, ξ2, ξ3, где

х

i
= аi + ξi (i = 1, 2, 3).

218

В ней уравнение нашей поверхности имеет вид

λ1(a1 + ξ1)2 + λ2(a2 + ξ2)2 + λ3(a3 + ξ3)2 +
+ 2

3
k=1
 A
k
(ak + ξk) + B = 0

или

λ1ξ

2
1
+ λ2ξ
2
2
+ λ3ξ
2
3
+ 2
3
l=1
 (alλl + A
l
l + B1 = 0,

где B1 - некоторая константа. Если положить

a1 =

A
l
λl
  (l = 1, 2, 3),

то это уравнение упростится:

λ1ξ

2
1
+ λ2ξ
2
2
+ λ3ξ
2
3
= -B1

Предположим, что числа a.j, А,2, А,3 одинакового знака.

Если при этом В1 = 0, то уравнению (4) удовлетворяет единственная точка, именно нулевая точка (0, 0 0) (см. 7) §25).

Если В1 ≠ 0 и имеет знак чисел λ1, λ2, λ3, то, очевидно, нет точек с действительными координатами, удовлетворяющих уравнению (4). В этом случае поверхность (1) мнимая.

Если же B ≠ 0 и имеет знак, противоположный знаку чисел λ1, λ2, λ3, то уравнение (4) можно записать в виде

λ
2
1
-
B1
λ1
 
  +
ξ
2
2
-
B1
λ2
 
  +
ξ
2
3
-
B1
λ3
 
  = 1 (5)

или, полагая

a2 = -

B1
λ1
 , b2 = -
B2
λ2
 , c2 = -
B3
λ3
 

в виде

ξ
2
1
a2
  +
ξ
2
2
b2
  +
ξ
2
3
c2
  = 1 (a, b, c > 0)

Таким образом, поверхность (1) есть эллипсоид (см. 1) § 25).

Пусть теперь два из чисел λ1, λ2, λ3 имеют один знак, а третье - противоположный им знак.

219

Если при этом B1 = 0, то можно считать в уравнении (4), что λ1 > 0, λ2 > 0, λ3 < 0, умножая (4), если это нужно, на -1 и переставляя, если это нужно, местами ξj. Тогда, положив

λ1 =

1
a2
 , λ2 =
1
b2
 , λ3 = -
1
c2
  (a, b, c > 0),

получим уравнение конуса (см. 6) § 25)

ξ
2
1
a2
  +
ξ
2
2
b2
  -
ξ
2
3
c2
  = 0.

При B1 ≠ 0 воспользуемся снова формулой (5). Выделим два существенно различных случая:

ξ
2
1
a2
  +
ξ
2
2
b2
  -
ξ
2
3
c2
  = 1 (однополостный гиперболоид 2) § 25),

ξ
2
1
a2
  -
ξ
2
2
b2
  -
ξ
2
3
c2
  = 1 (двуполостyный гиперболоид 3) § 25).

К этим двум случаям сводятся и остальные случаи путем соответствующей замены координат ξi.

Пусть теперь Δ = λ1λ2λ3 = 0. Тогда по крайней мере одно из чисел λ1, λ2, λ3 равно нулю. Будем считать, что Х,3 = 0, поменяв, если нужно, местами .

Итак, пусть λ3 = 0. Выделим сначала случай, когда а

3
= 0. Тогда уравнение (3) имеет вид

λ1х

’2
1
+ λ2х
’2
2
+ 2(А
1
х
1
+ А
2
х
2
) + В = 0,

где числа λ1, λ2, А

1
, А
2
, В могут быть любыми.

В плоскости (х

1
, х
2
) это есть общее уравнение кривой второго порядка. В пространстве (х
1
, х
2
, х
3
) ему соответствует уравнение цилиндрической поверхности (см. 8) § 25), проходящей через плоскую кривую второго порядка с образующей, параллельной оси х
3
(см. 8) § 25).

Далее мы будем всегда считать, что А

3
≠ 0 и λ3 = 0, и тогда уравнение (3) имеет вид

1x

’2
1
+ 2A
1
x
1
) + (λ2x
’2
2
+ 2A
2
x
’2
2
) + A
3
x
3
+ B = 0. (3’)

220

Существенно различными случаями являются следующие: а) λ1, λ2 > 0; б) λ1 > 0, λ2 < 0; в) λ1 > 0; λ2 = 0. Другие случаи сводятся к ним заменой координат или умножением на -1.

Рассматриваем случай а) λ1, λ2 > 0. Вынесем за скобки множители λ1 и λ2 и дополним выражения в этих скобках до полных квадратов. Тогда получим, учитывая, что λ1, λ2, A

3
отличны от нуля,

λ1(x

1
+ α)2 + λ2(x
2
- β)2 + 2 А
3
(x
3
+ γ) = 0,

где α, β, γ - соответствующие числа. Полагая

ξ = х

1
+ α, η = x
2
+ β, ζ = x
3
+ γ.

получим

λ1ξ2 + λ2η2 = -2 A

3
ζ

или

ζ2
-
A
3
λ1
 
  +
η2
-
A
3
λ2
 
  = 2ζ. (6)

Если -А

3
> 0, то уравнение (6) имеет вид

ξ2
p
  +
η2
q
  = 2ζ (эллиптический параболоид 4) § 25) (7)

(p, q > 0).

Если же - А

3
< 0, то заменяя ζ на -ζ, мы снова получим уравнение вида (7), т. е. эллиптический параболоид.

Рассмотрим теперь случай б) λ1 > 0, λ2 < 0 ( a

3
≠ 0). Воспользуемся уравнением (6). Если А
3
< 0, то это уравнение записывается в виде

ζ2
p
  -
η2
q
  = 2ζ (гиперболический параболоид см. 5) § 25) (8)

(p, q > 0).

221

Если же A

3
> 0, то после замены местами ξ и η снова получим уравнение вида (8), т. е. гиперболический параболоид.

Переходим теперь к случаю в) λ1 > 0, λ2 = 0 ( A

3
≠ 0). Тогда уравнение (3') сводится к следующему:

1х

’2
1
+ 2A
1
х
1
) + 2(А
2
х
2
+ А
3
x
3
) + В = 0.

Вынося за первые скобки λ1 дополняя выражение в этих скобках до полного квадрата (учитывая, что λ1 A

3
≠ 0), получим

λ1(х

1
+ α)2+ 2А
2
х
2
+ 2А
3
(x
3
+ β) = 0,

где α, β - некоторые числа. После замены

ξ = x

1
+ α, η = x
2
, ζ = x
3
+ β

это уравнение превратится в следующее:

λ1ξ2 + 2(А

2
η + А
3
ζ) = 0. (9)

Рассмотрим в плоскости (η, ζ) вектор ω = (А

2
, А
3
).

Запишем его в виде

(А

2
, А
3
) = ρ(cos α, sin α),

где ρ > 0 - длина ω, a (cos α, sin α) - единичный вектор, направленный в сторону ω. Другой вектор (sin α, -cos α) тоже единичный и перпендикулярен к первому.

Введем в плоскости (η, ζ) ортогональное преобразование

и = η cos α + ζsin α, v = η sin α - ζcos α.

Этим прямоугольная система координат η, ζ заменяется на прямоугольную систему координат u, v, а прямоугольная система координат ξ, η, ζ заменяется на прямоугольную систему координат ξ, и, v. В результате уравнение (9), которое может быть записано так:

λ1ξ2 + 2ρ(η cos α + ζ sin α) = 0,

принимает следующий вид:

λ1ξ2 + 2ρu = 0,

или меняя и на -и,

222

ξ2 = 2ρu (ρ = ρ/λ1 > 0),

или наконец, меняя местами ξ и и,

и2 = 2рξ (р > 0),

т. е. мы получили уравнение параболического цилиндра (в прямоугольных координатах (ξ, и, v)).

Мы рассмотрели все случаи, могущие иметь место для уравнения (1), и в каждом из них нашли прямоугольную систему координат, в которой уравнение (1) имеет один из видов 1)-8) § 25. Утверждение доказано.

223

Rambler's Top100
Lib4all.Ru © 2010.