§ 23. Квадратичная форма в двухмерном пространстве

При п = 2 квадратичная форма имеет вид

a11x12 + a12x1x2 + a21x2x1 + a22x22 =
= a11x12 + 2a12x1x2 + a22x22 (1)

так как a12 = а21 (мы считаем akl действительными).

Чтобы привести форму (1) к сумме квадратов координат вектора (ξ1, ξ2) в некотором базисе (x1, х2), надо (см. §22) найти базисные орты x1, х2 - собственные векторы самосопряженного оператора А, порожденного симметрической матрицей

Укажем способ нахождения собственных значений (чисел) и собственных векторов оператора А, отличный от метода § 22.

Итак, если λ0 - собственное число оператора А и x0 = ( x

(0)
1
, х
(0)
2
) ≠ 0 - соответствующий ему собственный вектор, то

Ах0 = λ0x0.

Перепишем это уравнение в координатной форме:

173

(2)

или в операторной форме:

(А - λЕ)х0 = 0, (2')

где Е - тождественный оператор.

Таким образом, однородная система (2) имеет ненулевое решение х0, что может быть, если определитель системы (2) или (2') равен нулю:

Итак, собственное число λ0 является корнем уравнения

|А - λ0E| = 0, (3)

которое называется характеристическим уравнением, оператора А (или квадратичной формы (Ах, x)).

Верно и обратное утверждение. Если λ0 является корнем уравнения (3), то нетривиальное решение системы

(А - λ0Е)х = 0 (4)

будет собственным вектором самосопряженного оператора А.

Следовательно, собственные числа оператора А находятся в данном случае как корни квадратного уравнения (3):

(а11 - λ)(а22 - λ) - a

2
12
= 0,

λ2 - (а11 + а22)λ + а11а22 - а

2
12
= 0.

Решая это уравнение, получаем

(5)

174

Отсюда видно, что λ1 ≥ λ2, при этом λ1 = λ2 в случае а12 = 0, а11 = а22. Будем для определенности считать, что а11а22 (иначе меняем xl на х2 и х2 на хг). Тогда

λ1a111 - a11 =

1
2
 [4a
2
12
+ (a11 - a22)2
- (a11 - a22)] ≥ 0).

Из (5) следует, что собственные значения оператора А (самосопряженного) - действительные числа.

Теперь по известным собственным числам λ1 и λ2 найдем собственные единичные векторы, как решения системы (4). Так как |А - λЕ| = 0, то

ранг (А - λ1Е) ≤ 1.

Если λ1 = λ2, то в этом случае матрица А - λ1Е состоит из одних нулей (λ1 = λ2 = а11 = а22, а12 = 0), т. е. ее ранг равен нулю. В этом случае квадратичная форма уже приведена к сумме квадратов (a12 = a21 = 0). Системе (4) удовлетворяет любой вектор х = (x1, x2). Поэтому за собственные векторы можно взять орты системы координат х1 = i = (1, 0), х2 = j = (0, 1). Любая другая система (х1, х2) ортонормальных векторов обладает тем свойством, что в этой системе квадратичная форма по-прежнему состоит из одних квадратов.

Теперь, если λ1 > λ2, то либо а12 ≠ 0, либо а12 = 0, a11а22. Второй случай можно не рассматривать, так как форма (1) уже приведена к сумме квадратов. Итак, пусть а12 ≠ 0. Тогда

ранг (А- λ1Е) = 1.

Поэтому достаточно рассмотреть одно уравнение системы (4):

(а11 - λ1)x1 + a12x2 = 0.

Отсюда имеем (а12 ≠ 0)

x2 = [(-a11 + λ1)/a12]x1

175

Вектор

является решением системы (4). Нормируя этот вектор, получим собственный вектор

Проводя элементарные преобразования, можно получить равенства

(6)

В дальнейшем достаточно брать в формулах (6) знак +.

Совершенно аналогично по собственному числу λ2 найдем собственный вектор х2. Оказывается, что

х2 = (х

(2)
1
, x
(2)
2
) = (-x
(1)
2
, x
(1)
1
).

Составим теперь матрицу оператора (ортогонального преобразования) Λ, переводящего орты (i, j) в орты (x1, х2):

176

(в строках стоят координаты образов базисных ортов i и j при помощи Λ, т. е. x1 = x

(1)
1
i + х
(1)
2
j, х2 = - х
(1)
2
i + х
(1)
1
j). Тогда координаты вектора (x1, х2) в системе (i, j) связаны с координатами (ξ1, ξ2) этого вектора в системе (х1, х2) с помощью столбцов матрицы Λ:

(7)

Подставляя эти значения в квадратичную форму (1) и учитывая формулы (5) и (6), получим

a11x

2
1
+ 2a12x1x2 + а22х
2
2
= λ1ξ
2
1
+ λ2ξ
2
2
. (8)

Правая часть этого равенства называется каноническим видом квадратичной формы.

Если числа λ1 и λ2 одного знака, то будем говорить, что квадратичная форма принадлежит эллиптическому типу, если λ1 и λ2 разных знаков, то гиперболическому типу; если же одно из чисел λ1 или λ2 равно нулю, то параболическому типу.

Из (5) видно, что λ1λ2 = а11а22 - а

2
12
. Поэтому тип формы (1) можно определить по знаку выражения а11а22 - а
2
12
.

Квадратичная форма будет эллиптической, гиперболической или параболической, если выражение а11а22 - а

2
12
соответственно больше, меньше или равно нулю.

Пример 1. Привести к каноническому виду форму

x

2
1
- 3х1х2 + 2х
2
2
.

В данном случае a11 = 1, а12 = -

3
2
  , а22 = 2. Так как

177

а11а22 - a

2
12
= 2 -
3
5
 =
5
4
  > 0, то форма будет эллиптической. Найдем собственные векторы и их собственные значения по формулам (5), (6):

Далее,

В системе (х1, х2) наша квадратичная форма имеет вид

5
2
 ξ
2
1
+
1
2
 ξ
2
2
.

Так как то преобразование с помощью матрицы

означает поворот системы х1, х2 на угол β = π/3 около начала координат по часовой стрелке (см. пример 1 в конце § 16).

178

Rambler's Top100
Lib4all.Ru © 2010.