§ 21. Теоремы фредгольмова типа

В этом параграфе излагается теория линейных уравнений, параллельная теории, изложенной в § 4.

Это бездетерминантная теория. В ее формулировки определитель системы уравнений явно не входит. Преимущество ее заключается в том, что она послужила основой и аналогом для многих обобщений в математическом анализе. Первые такие важные обобщения принадлежат Фредгольму.

Мы снова рассматриваем линейный оператор (см. § 15) А:

у = Ах (xRn), (1)

приводящий в соответствие каждому вектору хRn вектор уRn при помощи равенств

yi =

n
s=1
  aisxs (i = 1, …, n) (2)

Здесь

(3)

152

- заданная квадратная матрица. Оператору А соответствует сопряженный ему оператор

у = Ах (хRn), (1’)

определяемый сопряженной к (3) матрицей

(3*)

При помощи компонент векторов х, у он записывается в виде

yi =

n
l=1
 aljxl (j = 1, …, n) (2’)

т. е. компонента уj выражается через координаты вектора х с помощью j-й строки матрицы А* или j-го столбца матрицы А.

Справедливо равенство

(Ах, z) = (х, A*z) ∀ x, zRn, (4)

верное для всех х, zRn. В самом деле, для действительных Rn и аis.

В комплексном случае

153

Равенство (4) характерно для сопряженного оператора, потому что, если для некоторого линейного оператора В выполняется равенство

(Ах, z) = (x, Bz), ∀ x, zRn, (5)

то необходимо В = А*. Действительно, (В = ||bik||), для действительных ais, bis, Rn

(Ax, z) =

n
i=1
 
n
s=1
 aisxszi

(x, Bz) =

n
s=1
 
n
i=1
 bsizixs =
n
i=1
 
n
s=1
 bsixszi

Из (5) следует, что

n
i=1
 
n
s=1
 aisxszi =
n
i=1
 
n
s=1
 bsixszix, zRn, (6)

откуда ais = bis (i, s = 1, ..., п), в чем можно убедиться, если положить в (6) х = (0, ...,0, 1, 0, ..., 0) и z = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0), где у х единица стоит на s-м месте, а у z на i-м месте. В комплексном случае

(Ax, z) =

n
j=1
 
n
s=1
 ajsxszj,

(x, Bz) =

n
s=1
 
n
j=1
 bsjzj =
n
s=1
  xs
n
j=1
 bsjzj =
=
n
j=1
 
n
s=1
 bsjxszj

откуда ajs = bsj или bsj = ajs

154

Таким образом, сопряженный оператор А* к линейному оператору А можно также определить как такой линейный оператор, для которого выполняется равенство (4).

Равенства (1) и (1*) можно рассматривать как уравнения - задан вектор уRn, и мы ищем хRn, для которого выполняется равенство (1) или (1*).

Соответствующие однородные уравнения имеют вид

Ах = 0 (10)

или

n
s=1
 ajsxs = 0 (i = 1, ..., n) (20)

и

A*z = 0 (10*)

или

n
l=1
 aljal = 0 (j = 1, …, n) (20*)

Обозначим через L образ пространства Rn при помощи оператора А:

L = A(Rn)

- и через L' подпространство всех векторов z, удовлетворяющих однородному сопряженному уравнению (10*).

Мы назвали L' подпространством, потому что вместе с z, z' к нему принадлежат также αz + βz', где α и β - числа:

А*z + βz’) = αA*z + βA*z’ = 0.

L есть тоже подпространство, потому что, если у, уL, то существуют векторы х, x' ∈ Rn такие, что у = Ах, у' = Ах', и, следовательно,

αy + βу' = αАх + βАх' = Ax + βx’),

т. е. αy + βy’ ∈ L.

155

Справедлива лемма (см. § 20, теорема 2).

Лемма 1. Подпространства L и L' взаимно ортогональны, т. е. L' есть множество всех векторов zt каждый из которых ортогонален к L, a L в свою очередь есть множество всех векторов у, каждый из которых ортогонален к L'. Если L имеет k измерений, то L' имеет n-k измерений.

Доказательство. Обратимся к равенству

(Ах, z) = (x, А*z), (7)

верному для всех x, zRn. Пусть z есть вектор, ортогональный к L, тогда для него левая часть (7) равна нулю для всех хRn, но тогда и правая часть равна нулю для всех хRn, в частности для х = A*z:

(А*z, А*z) = 0.

Следовательно, A*z = 0. Мы доказали, что если вектор z ортогонален к L, то он удовлетворяет уравнению A*z = 0 (т. е. zL').

Обратно, пусть вектор z удовлетворяет уравнению A*z = 0. Для такого z правая часть (7) равна нулю при любых x, но тогда и левая равна нулю, т. е. z ортогонален ко всем векторам вида Ах, т. е. ко всем векторам уL. Другими словами, z ортогонален к L.

Мы доказали, что L' есть множество всех векторов z, ортогональных к подпространству L. Но тогда на основании теоремы 2 § 20 и, обратно, L есть множество всех векторов у, ортогональных к L’, и сумма измерений L и L’ равна п. Лемма доказана.

Справедлива теорема.

Теорема 1. Для того чтобы уравнение

 y = Ах (1’)

156

имело решение для данного вектора у е Rn, необходимо и достаточно, чтобы вектор у был ортогональным ко всем векторам z, удовлетворяющим однородному сопряженному уравнению

A*z = 0. (10*)

Решение х уравнения (1), если оно существует, можно записать в виде суммы

x = x0 + u,

где х0 - какое-либо частное решение уравнения (1), а и - произвольное решение однородного уравнения

Аи = 0. (10)

Любая указанная сумма есть решение (1').

Доказательство. В силу леммы 1, если L = A(Rn), a L’ есть множество всех z, удовлетворяющих уравнению A*z = 0, то L и L’ суть подпространства, ортогональные взаимно. Но тогда, если для у существует решение уравнения (1), то уL и необходимо все zL' ортогональны к у. Если же вектор у ортогонален ко всем zL', то уL, т. е. существует х, для которого у = Ах.

Пусть теперь для вектора у существует решение уравнения (1'). Обозначим его через х0:

у = Ах0.

Тогда, очевидно, сумма х0 + и, где Аи = 0, есть тоже решение уравнения (1’):

А(х0 + и) - Ах0 + Аи = у + 0 = у.

Обратно, если х есть произвольное решение уравнения (1’), а х0 - определенное частное решение, то

у = Ах, у = Ах0,

и, следовательно,

157

0 = Ах - Ах0 = А(x - x0) = Аu,

где и = х - х0, т. е. х = х0 + и, где и удовлетворяет уравнению Аи = 0.

Замечание. Поясним на примере действительного пространства R2 связь теоремы 1 с теорией Кронекера-Капелли. Пусть вектор у = (y1, y2) ортогонален ко всем решениям системы

(8)

Покажем, что тогда ранги матрицы А и расширенной матрицы

равны между собой. Если ранг А = 2, то, очевидно, ранг В = 2. Пусть ранг А = 1. Всегда ранг В > ранг А = 1. Поэтому нам необходимо доказать, что

В самом деле, так как у ортогонален к решениям системы (8) (нетривиальным), то у1z1 + y2z2 = 0. Поэтому, считая, что z1 0,

Δ1 = a11y2 - a21y1 = a11y2 + a21

y2z2
z1
  =
y2
z1
 (a11z1 + a21z2) = 0,

Δ2 = a12y2 - a22y1 = a12y2 + a22

y2z2
z1
  =
y2
z1
 (a12z1 + a22z2) = 0.

Отсюда следует, что ранг В = ранг А = 1.

Обратно, пусть вектор у = (y1, y2) таков, что ранг В = ранг А, тогда (1) имеет некоторое решение (x1, x2).

158

Докажем, что у ортогонален к решениям z = (z1, z2) системы (8). В самом деле,

y1z1 + y2z2 = (a11x1 + a12x2)z1 + (a21x1 + a22x2)z2 =
= (a11z1 + a21z2)x1 + (a21z2 + a22z2)x2 = 0 ∙ x1 + 0 ∙ x2 = 0.

Теорема 2. Однородные уравнения

Ах = 0 (10)

и

А*x = 0 (10*)

имеют одинаковое число линейно независимых решений.

В частности, если одно из этих уравнений имеет только тривиальное решение 0, т. е. имеет нуль независимых решений, то это верно и для другого.

Замечание. В последнем случае уравнение (1) имеет единственное решение.

Доказательство. Матрицы А и А* имеют один и тот же ранг, который обозначим через k. Они имеют также один и тот же определитель Δ.

Если k = n, то Δ ≠ 0 и уравнения (10) и (10*) имеют только тривиальные решения 0. В этом случае, согласно теореме 1, уравнение (1) имеет единственное решение при любых уRn.

Пусть теперь 1 ≤ k < п. После соответствующей перенумерации уравнений и компонент определитель

Первые k уравнений (10) теперь запишем в виде

159

(9)

Ниже приводится таблица п - k векторов

(10)

Чтобы получить первый вектор, подставляем в систему (9)

xk+1 = 1, xk+2 = 0, …, xn = 0

и решаем ее относительно x1, …, xk. Единственные решения, которые здесь получаются, обозначим через х

1
1
,, …, x
1
k
. Чтобы получить второй вектор, подставляем в (9)

xk+1 = 0, xk+2 = 1, xk+3 = 0, …, xn = 0

и находим числа x

2
1
..., x
2
k
и т. д. Векторы (10) обладают следующими свойствами.

  • 1) Система векторов (10) линейно независима, потому что ранг матрицы этих векторов равен числу этих векторов μ = п - k,
  • 2) Каждый вектор системы (10) есть решение (любых!) уравнений (20) или Ах = 0.
  • 3) Всевозможные решения уравнения Ах = 0 имеют вид

λ1x1 + … + λn-kxn-k,

где λ1, ..., λn-k - произвольные числа.

160

Обычно эти три утверждения заменяют словами: уравнение (10) имеет п - k линейно независимых решений.

Подобными рассуждениями, учитывая, что ранг А = ранг А*, доказываем, что уравнение А*х = 0 тоже имеет п - k линейно независимых решений. Теорема доказана.

Теорема 3. Если одно из однородных уравнений (10) или (10*) имеет k линейно независимых решений, то и другое имеет k линейно независимых решений; образы же L = A(Rn) и L* = A*(Rn) пространства Rn, получаемые при помощи операторов А и А*, суть подпространства п - k измерений.

Доказательство. Первое утверждение теоремы о равенстве количеств линейно независимых решений однородных уравнений (10) и (10*) есть теорема 2, а второе -есть лемма 1, в силу которой измерение подпространства L равно п - k, где k - измерение подпространства L' векторов 2, удовлетворяющих уравнению А*z = 0. Аналогично измерение L* равно п - k, где k - количество измерений подпространства векторов и, удовлетворяющих уравнению Аи = 0.

161

Rambler's Top100
Lib4all.Ru © 2010.