§ 20. Линейные подпространства в Rn

Множество L в Rn (LRn ) называется линейным подпространством пространства Rn или, короче, подпространством в Rn, если из того, что два каких-либо вектора х и у принадлежат к L (х, уL), автоматически следует, что вектор αх + βу тоже принадлежит к Lх + βуL), где α, β - числа. Подпространство L называется m-мерным, если в нем имеется линейно независимая система а1, …, аm, состоящая из т векторов, и нет системы, состоящей из т + 1 линейно независимых векторов.

Таким образом, если а - произвольный вектор в L (аL), то система a1, ..., ат, а линейно зависима, т.е. существует нетривиальная система чисел γ1. …, γm, γm+1 такая, что

γ1a1 + … + γmam + γm+1a = 0 (1)

Здесь γт+1 ≠ 0, иначе было бы

γ1a1 + ... + γmат = 0,

и вследствие линейной независимости системы а1, ..., ат было бы γ1 = ... = γm = 0, и вся система γ1, ..., γm, γm+1 была бы тривиальной. Тогда уравнение (1) можно решить относительно а:

а = μ1a1 + ... + μmams = -γ/γm+1), (2)

т. е. представить в виде линейной комбинации из векторов a1, ..., am. С другой стороны, линейная комбинация

145

вида (2) принадлежит к L, потому что L - подпространство. В этом смысле говорят, что система а1, ..., ат есть базис в L. Очевидно, любая другая линейно независимая система векторов b1, ..., bm, принадлежащих к L, есть базис в L.

Если разложить векторы b1 по векторам а1, ..., ат, то получим

bk =

m
s=1
 bksas (k = 1, …, m)

По аналогии с тем, как мы рассуждали в § 16 для Rn (где теперь надо заменить is и аk соответственно на аs, bk), можно получить, что система b1, ..., bт линейно независима тогда и только тогда, когда определитель |bks| ≠ 0, и что любая независимая система, состоящая из l < m векторов, уже не может быть базисом в L.

Пространство Rn можно рассматривать как подпространство Rn, имеющее п измерений.

Множество, состоящее из одного нулевого вектора 0, есть линейное подпространство (αo + β0 = 0). Про него говорят, что оно имеет 0 измерений. Вектор 0 не образует линейно независимой системы - из равенства λ0 = 0, где λ - число, не обязательно следует, что λ есть нуль.

Если вектор х00, то множество векторов вида λх0, где λ, - произвольное число, есть одномерное подпространство. В качестве базиса в нем можно взять вектор х0.

Пусть L есть линейное подпространство в Rn. Будем говорить, что вектор νRn ортогонален к L, если он ортогонален к любому вектору иL. Обозначим через L' множество всех векторов, ортогональных к L. L' есть подпространство. В самом деле, пусть ν, ν’ ∈ L', т. е.

(ν, и) = 0, ∀uL;

(ν’, u) = 0, ∀uL.

146

Тогда для любых чисел а, Р

(αν + βν’, u) = α(ν, и) + β(ν’, u) = 0, ∀ uL,

т. e. αv + βν’∈ L'.

По определению подпространство L' ⊂ Rn называется ортогональным к данному подпространству L ⊂ Rn, если L' есть множество всех векторов, каждый из которых ортогонален к L.

Ниже доказывается теорема, выясняющая структуру произвольного подпространства LRn и ему ортогонального подпространства L'Rn. В частности, из нее следует, что если L' ортогонально к L, то и, обратно, L ортогонально к L'.

Теорема 1. Пусть L есть линейное подпространство, отличное от Rn и нулевого подпространства. Тогда:

а) существует целое число т, удовлетворяющее неравенствам

1 < т < п, (3)

и ортонормированный базис

а1, ..., ат (4)

в L; если этот базис продолжить любым способом до ортонормированного базиса в Rn:

а1, ..., ат, аm+1, ..., аn, (5)

то линейное подпространство L' с базисом

am+l, ..., аn (6)

обладает следующими свойствами:

б) L' есть подпространство, ортогональное к L;

в) L есть подпространство, ортогональное к L';

г) любой вектор аRn можно представить в виде суммы

147

а = u + v,

где и ∈ L, v ∈ L' и при этом единственным образом.

Доказательство. По условию L отлично от нулевого подпространства, следовательно, в L существует вектор х, отличный от 0. Нормируя х, получим нормальный вектор

a1 =

x
|x|
 

Обозначим через а2 любой, принадлежащий к L нормальный вектор, ортогональный к а1 (|а2| = 1, (а2, а1) = 0), если такой существует. Далее, обозначим через а3 принадлежащий к L нормальный вектор, ортогональный к а1 и а2 (|а3|) = 1, (а3, а1) = (а3, а2) = 0), если такой существует. Этот процесс закончится на некотором m-м этапе, где т удовлетворяет неравенствам (3), т. е. найдется ортонормированная система векторов (4), принадлежащих к L, но уже не будет в L единичного вектора, ортогонального к векторам а1, ..., ат. В самом деле, т > 1, потому что заведомо а1L. С другой стороны, т не может быть равным п. В противном случае векторы а1, ..., аm принадлежали бы к L и вместе с ними принадлежали бы к подпространству L все линейные комбинации

n
k=1
 λkak тогда получилось бы, что L совпадает с Rn, но L отлично от Rn. Полученная ортонормированная система a1, ..., ат есть базис в L. В самом деле, вместе с векторами а1, ..., ат принадлежат к L и все их линейные комбинации
m
k=1
 λkak. Но больше в L других векторов нет, потому что, если допустить, что некоторый вектор аL не есть такая

148

линейная комбинация, то а можно было бы записать в виде суммы

а =

m
k=1
 (a, ak)ak + y, (7)

где у ≠ 0. Так как векторы а и ak принадлежат к подпространству L, то пришлось бы заключить, что вектор

у = а -

m
k=1
 (а, ak)ak

тоже принадлежит к L. Но вектор у ортогонален ко всем as (s = 1, ..., m) (см. § 17, (4)). Пронумированный вектор

b =

1
|y|
 y (8)

тоже принадлежал бы к L и был бы ортогональным ко всем ak (k = 1, ..., т). Но это невозможно в силу максимального свойства числа m. Этим доказано утверждение а) теоремы.

Дополнение ортонормированной системы (4) до ортонормированного базиса (5) осуществляется на основании теоремы 1 § 17. Обозначим через L’ подпространство всех линейных комбинаций v =

n
k=m+1
 μkak из векторов системы (6). Каждый такой вектор, очевидно, ортогонален к любому вектору иL, который представляется в виде суммы и =
m
k=1
 λkak. С другой стороны, если аRn есть произвольный вектор, ортогональный ко всем векторам иL, в частности к а1, ..., ат, то его разложение по базису (5) имеет вид

149

а =

n
k=1
 (a, ak)ak =
n
k=m+1
 (a, ak)ak

т. е. аL'. Мы доказали утверждение б) теоремы.

Далее, любой вектор и =

m
k=1
 λk аkL ортогонален ко всем векторам v =
n
k=m+1
 μkakL' и, если известно, что какой-либо вектор a =
n
k=1
 (a, ak)ak ортогонален ко всем векторам из L’, в частности к am+1, ..., аn, то a =
m
k=1
 (а, ak)ak, т. е. aL. Мы доказали утверждение в).

Наконец, если aRn - произвольный вектор, то его единственным образом можно представить в виде суммы

а =

n
k=1
 (а, ak)ak = и + v,

где

u =

m
k=1
 (a, ak)akL, ν =
n
k=m+1
 (a, ak)akL’.

Этим теорема 1 доказана полностью.

Теорема 2. Пусть L есть подпространство т измерений в Rn. Тогда подпространство L'Rn, ортогональное к L, имеет п - т измерений и при этом L есть в свою очередь подпространство, ортогональное к L'.

150

Доказательство. Если L отлично от Rn и от нулевого подпространства, то данная теорема содержится, очевидно, в теореме 1.

Пусть L есть нулевое подпространство. Так как любой вектор аRn ортогонален к 0, то L' = Rn и измерение Rn равно п - 0 = п. Обратно, вектор 0 ортогонален ко всем векторам аRn = L'. Других векторов, ортогональных ко всем векторам Rn, нет, потому что всякий отличный от 0 вектор уже не ортогонален к самому себе. Мы доказали, что L ортогонально к L’.

Если L = Rn, то рассуждаем подобным образом.

Следствие 1. Пусть задана система векторов

х1, ..., хт, (9)

и пусть L' есть подпространство векторов v, каждый из которых ортогонален к векторам этой системы:

(u, xk) = 0 (k = 1, ..., m).

Пусть, далее, дан вектор а, ортогональный ко всем указанным векторам v, т. е. ортогональный к подпространству L'. Тогда а есть некоторая линейная комбинация из векторов заданной системы (9)

a =

m
k=1
 λkxk

Доказательство. Рассмотрим подпространство L, состоящее из всевозможных линейных комбинаций векторов системы (9), т. е. всякий вектор иL есть некоторая линейная комбинация

u =

m
k=1
 λkxk

В этом случае будем также говорить, что подпространство L натянуто на векторы системы (9).

151

Так как всякий вектор vL' ортогонален к векторам системы (9), то он, очевидно, ортогонален к любому вектору иL. Это показывает, что подпространство L' ортогонально к подпространству L. Но тогда по теореме 2 и L ортогонально к L’, т. e. L состоит из всех векторов и, ортогональных к L'. По условию а есть один из таких векторов и, следовательно, а есть некоторая линейная комбинация из векторов системы (9).

152

Rambler's Top100
Lib4all.Ru © 2010.