§ 19. Преобразование прямоугольных координат в плоскости

Рассмотрим плоскость R2, где задана прямоугольная система координат х1, х2. Пусть

i1 = (1, 0), i2 = (0, 1)

- орты осей x1, х2. Орты i1, i2 образуют ортонормированный базис в Rr

Произвольный единичный (нормальный) вектор b1 может быть записан следующим образом:

b1 = (cos α, sin α) (0 ≦ а < 2π).

Единичный ортогональный (перпендикулярный) к b1 вектор, который мы обозначим через b2, может соответствовать только либо углу α +

π
2
 , либо α -
π
2
 . Так как

141

то всевозможные ортонормированные системы b1, b2 в R2 определяются либо равенствами (рис. 35)

(1')

соответствующими вращению осей около начала на угол а и сохранению ориентации, либо равенствами (рис. 36)

(1'')

соответствующими вращению осей около начала на угол а и изменению ориентации.

Оба преобразования объединяются в следующей формуле:

b1 = α11i1 + α12i2
b2 = α21i1 + α22i2 (1)

Рис. 35
Рис. 35

Рис. 36
Рис. 36

142

где матрица преобразования

(2)

ортогональна (сумма квадратов элементов каждой из ее строк или столбцов равна 1, а скалярное произведение двух разных строк или столбцов равно 0).

Любое определенное ортогональное преобразование (1) есть на самом деле одно из преобразований (1'), (1") при некотором а.

Из (1) в силу ортогональности матрицы (2) следует, что

(3)

и мы получили преобразование, обратное преобразованию (1), с матрицей

сопряженной к Λ.

Зададим в плоскости произвольный вектор (точку) а. Пусть он имеет в старой и новой системе координаты (х1, х2) и (x1, x'2). Тогда

а = x1i1 + x2i2 = x1bl + х'2b2. (4)

В силу формул (3) и (4)

x1b1 + x2b2 = x111b1 + α21b2) + x212b1 + α22b2) =
= (α11x1 + α12x2)b1 + (α21x1 + α22x2)b2.

Поэтому, приравнивая компоненты при одинаковых ортах b1, b2, получим

(5)

143

В силу же формул (1) и (4)

x1i1 + x2i2 = x111i1 + α11i1 + α12i2) + x221i1 + α22i2) =
= (α11x1 + α21x2)i1 + (α12x1 + α22x1 + α22x2)i2

откуда, приравнивая компоненты при i1 и i2, получим формулы, обратные к (5):

(6)

Если наряду с преобразованием (6) перенести еще начало осей x'1, x'2 в точку O’, имеющую координаты x1 = х

0
1
, x2= x
0
2
, то формулы (6) усложнятся, очевидно, следующим образом:

(7)

Итак, произвольное преобразование прямоугольных координат (x1, x2) в прямоугольные координаты (x1, х'2) с переносом начала системы (х1, х2) в точку O’ = (х

0
1
, х
0
2
) выражается формулами (7), где матрица

ортогональная.

Соответствующее преобразование, сохраняющее ориентацию системы координат, имеет вид

(7')

и преобразование, меняющее ориентацию, имеет вид

144

(7")

(матрицы коэффициентов при х1 и х'2 в (7') и (7") соответственно транспонируют (1') и (1")).

145

Rambler's Top100
Lib4all.Ru © 2010.