§ 19. Преобразование прямоугольных координат в плоскости

Рассмотрим плоскость R₂, где задана прямоугольная система координат х₁, х₂. Пусть

i¹ = (1, 0), i² = (0, 1)

- орты осей x₁, х₂. Орты i¹, i² образуют ортонормированный базис в R_r

Произвольный единичный (нормальный) вектор b¹ может быть записан следующим образом:

b¹ = (cos α, sin α) (0 ≦ а < 2π).

Единичный ортогональный (перпендикулярный) к b¹ вектор, который мы обозначим через b², может соответствовать только либо углу α +

π

2

 , либо α -

π

2

 . Так как

141

то всевозможные ортонормированные системы b¹, b² в R₂ определяются либо равенствами (рис. 35)

(1')

соответствующими вращению осей около начала на угол а и сохранению ориентации, либо равенствами (рис. 36)

(1'')

соответствующими вращению осей около начала на угол а и изменению ориентации.

Оба преобразования объединяются в следующей формуле:

b¹ = α₁₁i¹ + α¹²i²
b² = α₂₁i¹ + α₂₂i² (1)

142

где матрица преобразования

(2)

ортогональна (сумма квадратов элементов каждой из ее строк или столбцов равна 1, а скалярное произведение двух разных строк или столбцов равно 0).

Любое определенное ортогональное преобразование (1) есть на самом деле одно из преобразований (1'), (1") при некотором а.

Из (1) в силу ортогональности матрицы (2) следует, что

(3)

и мы получили преобразование, обратное преобразованию (1), с матрицей

сопряженной к Λ.

Зададим в плоскости произвольный вектор (точку) а. Пусть он имеет в старой и новой системе координаты (х₁, х₂) и (x’₁, x'₂). Тогда

а = x₁i¹ + x²i² = x’₁b^l + х'₂b². (4)

В силу формул (3) и (4)

x’₁b¹ + x’₂^b2 = x₁(α₁₁b¹ + α₂₁b²) + x₂(α₁₂b¹ + α₂₂b²) =
= (α₁₁x₁ + α₁₂x₂)b¹ + (α₂₁x₁ + α₂₂x₂)b².

Поэтому, приравнивая компоненты при одинаковых ортах b¹, b², получим

(5)

143

В силу же формул (1) и (4)

x₁i¹ + x₂i² = x’₁(α₁₁i¹ + α₁₁i¹ + α₁₂i²) + x’₂(α₂₁i¹ + α₂₂i²) =
= (α₁₁x’₁ + α₂₁x’₂)i¹ + (α₁₂x’₁ + α₂₂x’₁ + α₂₂x’₂)i²

откуда, приравнивая компоненты при i¹ и i², получим формулы, обратные к (5):

(6)

Если наряду с преобразованием (6) перенести еще начало осей x'₁, x'₂ в точку O’, имеющую координаты x₁ = х

0

1

, x₂= x

0

2

, то формулы (6) усложнятся, очевидно, следующим образом:

(7)

Итак, произвольное преобразование прямоугольных координат (x₁, x₂) в прямоугольные координаты (x’₁, х'₂) с переносом начала системы (х₁, х₂) в точку O’ = (х

0

1

, х

0

2

) выражается формулами (7), где матрица

ортогональная.

Соответствующее преобразование, сохраняющее ориентацию системы координат, имеет вид

(7')

и преобразование, меняющее ориентацию, имеет вид

144

(7")

(матрицы коэффициентов при х’₁ и х'₂ в (7') и (7") соответственно транспонируют (1') и (1")).

145