§ 18. Инвариантные свойства скалярного и векторного произведений

Замечание. В трехмерном действительном пространстве пусть заданы две прямоугольные системы координат x₁, x₂, х₃ и y₁, y₂ у₃ с системами ортов соответственно (i¹, i², i³) и (j¹, j², j³). Пусть

j^k =

3

∑

s=1

 α_ksi^s (k = 1, 2, 3) (1)

(ср. (7) и (13) § 17. Тогда матрица (действительная!)

А = ||α_ks||

ортогональна и (ср. (13) § 17)

y_l =

3

∑

s=1

 α_lsx_s (l = 1, 2, 3)(2)

Одна и та же точка (вектор) пространства имеет в первой системе (координат) координаты (компоненты) (x₁, х₂, х₃), а во второй - координаты (y₁, y₂, у₃). При этом формулы преобразования координат (перехода (x₁, x₂, х₃) к (y₁, y₂, у₃)) в точности такие же, как формулы преобразования системы ортов (i¹, i², i³) в систему ортов (j¹, j², j³). В обоих случаях применяется одна и та же ортогональная матрица (см. (13) и (7) § 17)

А = ||α_kl||.

В первом случае матрица А применяется к системе чисел (x₁, х₂, х₃), чтобы получить систему чисел (z₁, y₂, y₃), а во втором та же матрица А применяется к ортам (i¹, i², i³), чтобы получить орты (j¹, j², j³).

Дадим общее определение вектора, принятое в тензорном исчислении.

138

Вектором в трехмерном пространстве называется вещь, выражаемая в каждой прямоугольной системе координат некоторой тройкой чисел, которые преобразуются так же (при помощи той же матрицы), как тройки ортов соответствующих систем координат.

Подобная терминология употребляется и в случае n-мерных пространств.

Пусть а и b - векторы трехмерного пространства (действительного!), определяемые в системах координат с ортами (i¹, i², t³) и (у¹, у², у³) следующим образом

a = a_x1i¹ + a_x2i² + a_x3i³ = a_y1j¹ + a_y2j² + a_y3j³,

b = b_x1i¹ + b_x2i² + b_x3i³ = b_y1j¹ + b_y2j² + b_y3j³,

Имеет место равенство

ab =

3

∑

s=1

 a_xsb_xs =

3

∑

r=1

 a_yrb_yr ,

показывающее, что скалярное произведение инвариантно относительно преобразований прямоугольных систем координат.

В самом деле, так как системы векторов (i¹, i², i³) и (у¹, у², у³) ортонормированы, то они преобразуются по формулам (1), где ||a_kl|| - некоторая ортогональная матрица. Компоненты вектора a (a_xl, а_х2, а_х3) преобразуются в компоненты (a_yl, a_y2, a_y3) при помощи той же матрицы (см.(2)). Поэтому

(3)

Мы доказали инвариантность скалярного произведения аb вычислительным путем. Впрочем, из другого, геометрического определения скалярного произведения векторов (направленных отрезков), в силу которого аb = |b| ∙ пр_bа, непосредственно видно, что это число есть инвариант - ведь это

139

определение не связано ни с какой системой координат.

Что касается векторного произведения а × b, то оно инвариантно относительно прямоугольных систем координат с одинаковой ориентацией. В системах, имеющих орты (i¹, i², i³) и (j^l, j², j³) и векторные произведения выражаются следующим образом:

В силу формул (1) и (2)

(4)

140

где надо поставить знак + или - в зависимости от того, будет ли определитель |α_ik| равен +1 или -1, что все равно, меняет или нет рассматриваемое преобразование координат ориентацию.

При перемножении определителей мы в данном случае пользовались следующим правилом: элемент γ_ik матрицы произведения ||γ_ik|| определяется как произведение i-й строки первого определителя на k-ю строку второго (см. § 2, свойство к)).

Итак, мы доказали вычислительным путем, что векторное произведение двух векторов инвариантно относительно преобразований прямоугольных систем координат, не изменяющих их ориентацию.

Преобразования (3), (4) интересны тем, что они обобщаются на случай, когда роль вектора а играет важный в математическом анализе символический вектор .

141