§ 17. Ортогональные базисы в Rn

Говорят, что два ненулевых вектора х, уRn, имеют одинаковое (одно и то же) направление, если существует положительное число γ, такое, что х = γу.

Произвольный ненулевой вектор хRn можно, как говорят, нормировать, заменив его на единичный вектор

y =

1
|x|
 x (|y| = 1),

имеющий то же направление, что и вектор х.

Единичный (имеющий норму (длину), равную 1) вектор называют нормальным.

Два вектора х и у в пространстве Rn называют ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: (х, у) = 0.

Здесь Rn может быть действительным или комплексным. В случае комплексного Rn скалярное произведение определяется, как в § 6, (5').

Система векторов

x1, …, xvRn (1)

называется ортогональной, если любые два ее вектора ортогональны. Система векторов (1) называется ортогональной и нормальной или ортонормированной, если

128

т. е. все векторы системы нормальны и попарно ортогональны. Если система векторов (1) ортогональна и ни один вектор системы не равен нулевому, то, нормируя их, получим, очевидно, ортонормированную систему. Ортонормированная система (1) линейно независима, В самом деле, пусть

γх1 + γ2х2 + ... + γvxv = 0,

где γ1, …, γv - числа. Умножив это равенство скалярно на xs, получим, очевидно,

γs(xs, xs) = γs = 0 (s = 1, …, v)

Но тогда ортонормированная система из п векторов в Rn есть базис и, следовательно, каждый вектор аRn можно представить в виде линейной комбинации

a =

n
k=1
 γkxk (2)

Умножая это равенство скалярно на xs, получим

(a, xs) = γs (s = 1, ..., n)

и, следовательно,

a =

n
k=1
 (a, xk)xk, ∀ aRn

Число (a, xk) (|xk| = 1!) называется проекцией вектора а на направление вектора xk.

В реальном действительном пространстве R3 величина (a, xk) есть обычная числовая проекция вектора а на направление вектора xk.

129

Теорема 1. Ортонормированную систему векторов

x1, x2, …, xv (v < n)

можно пополнить до ортонормированного базиса в Rn. Иначе говоря, можно указать векторы xv+1, ..., хп такие, что система

x1, …, xv, xv+1, …,xn (3)

будет ортонормированной и, следовательно, будет базисом в Rn.

Доказательство. Так как v < n, то в Rn существует вектор а, не зависящий линейно от x1, ..., xv. Но тогда

a =

v
k=1
 (a, xk)xk + y

где у ≠ 0. Вектор у ортогонален ко всем векторам x1, ..., xv. В самом деле,

(y, xs) = (a -

v
k=1
 (a, xk)xk, xs) =
= (a, xs) - (a, xs) = 0 (4)

(s = 1, …, v)

Пронормировав у, получим вектор

xv+1 =

1
|y|
 y (|xv+1| = 1),

и система

x1, …, xv, xv+1

будет ортонормирована. Если v + 1 = п, то мы получили базис в Rn. Если нет, то этот процесс продолжаем. На (п - v)-m этапе получим базис (3) в Rn.

130

Система ортов осей в Rn

i1 = (1, 0, 0, ..., 0, 0),
i2 - (0, 1, 0, ..., 0, 0),
………
in = (0, 0, 0 , ...,0, 1)

может служить примером ортонормированного базиса в Rn.

Произвольный вектор а = (x1, ..., хп) ∈ Rn разлагается по ортам следующим образом:

a = x1i1 + … + xnin =

n
k=1
 xkik (5)

где xk = (a, ik) (k = 1, ..., n) - проекция вектора a на направление орта ik.

Пусть задана некоторая определенная ортонормированная система из п векторов

(6)

или

ak =

n
s=1
 aksis (k = 1, …, n) (7)

Переход от векторов (i1, .., in) к (a1, ..., аn) здесь осуществляется при помощи матрицы

(8)

т. е. вектор аk выражается через i1, ..., in с помощью k-й строки матрицы A.

131

В дальнейшем мы считаем пространство Rn и матрицу Л действительными (см. далее замечание 1).

Матрица Λ ортогональна, т. е. обладает следующим свойством:

n
s=1
 aksals = δkl (k, l = 1, …, n) (9)

В самом деле, так как в данном случае система а1, ..., аn ортонормирована, то

(10)

Мы видим, что и, обратно, ортогональность матрицы (8) влечет за собой ортонормируемость системы векторов а1, ..., аn, определенных по формулам (7).

Это показывает, что формулы (7), где ||aks|| - произвольные ортогональные матрицы, определяют все возможные ортонормированные базисы в Rn.

Помножим вектор il на вектор аk скалярно:

(il, аk) = аkl (11)

Отсюда

il =

n
k=1
 (il, ak)ak =
n
k=1
 aklak. (12)

Таким образом, переход от базиса (а1, ..., аn) к базису (il, ..., in) осуществляется при помощи матрицы Λ', транспонированной к Λ. Так как преобразование (12) обратно преобразованию (7) (см. § 15), то мы попутно

132

доказали, что ортогональная матрица Л обладает следующим замечательным свойством (в действительном Rn):

Λ-1 = Λ’. (13)

Из (12) следует

(14)

Ортогональная матрица была определена нами как такая матрица, у которой строки (векторы, представляющие их) нормальны, а разные строки ортогональны. Из этого определения, как это видно из (14), автоматически следует, что у ортогональной матрицы и столбцы нормальны, а разные столбцы ортогональны о

Переход от (x1, ..., хп) к (x’1, …, х'п) совершается при помощи матрицы, так как (считая, что

Переход же от (х1, ..., х'n) к (x1, ..., хп) совершается при помощи (см. (13)) матрицы Λ' транспонированной к Λ, т. е.

xs =

n
l=1
  alsx
l

133

Отметим, что определитель произвольной ортогональной матрицы Л (см. (6)) по абсолютной величине равен 1: | |Λ| | - | |akl| | = 1.

Это следует из того, что

Здесь мы считаем, что элемент γki. произведения определителей равен сумме произведений элементов k-й строки на соответствующие элементы i-й строки (см. § 2, свойство к)).

Отметим еще, что определитель из компонент векторов базиса i1, ..., in равен 1:

Если ортогональный базис a1, ..., аn имеет определитель |Λ| = 1 (см. (6)), то говорят, что этот базис ориентирован так же, как базис i1, ..., in. Если же |Λ| = -1, то - противоположным образом. Эти определения согласуются с соответствующими определениями в двумерном и трехмерном случаях, сделанными в§11 и в §12.

Замечание 1. В комплексном пространстве Rn матрица (8), где akl комплексные, называется ортогональной, если

n
s=1
 aksals = δkl (k, l = 1, …, n) (9')

134

Покажем, что ортонормированная система векторов (6) в комплексном Rn порождает ортогональную матрицу Λ (см. (8)). В самом деле, в комплексном Rn скалярное произведение векторов х, у подчиняется свойствам (см. § 6, б'), в'))

(x, y) = (y, x), (αx + βy, z) = α(x, z) = α(x, z) + β(y, z)

где α, β - комплексные числа. Поэтому

(x, αy + βz) = (αy, + βz,x) = (αy,x) + (βz,x) =
= α(y,x) + β(z,x) = α (x,y) + β(x,z)

Но тогда для ортонормированной системы векторов а1, ..., аn имеет место

(10’)

т. е. матрица Λ ортогональна. Мы видим, что и, обратно, ортогональность Λ влечет ортонормированность векторов a1, ..., аn, определенных по формулам (7).

Помножим вектор il на аk скалярно (см. (7)):

Отсюда

135

il =

n
k=1
 (il, ak)ak =
n
k=1
 aklak. (12')

Таким образом, переход от базиса (a1, ..., аn) к базису (i1, ..., in) осуществляется при помощи матрицы

Так как преобразования (11') обратны преобразованиям (7), то попутно показано, что ортогональная матрица Λ обладает следующим свойством (в комплексном Rn):

Λ-1 = Λ*, (Λ’)-1 = (Λ’)* = (Λ’’) = Λ. (16)

Из (12') следует

Следовательно, равенства

δkl =

n
s=1
 askasl (k ,l = 1, …, n)

(так же, как (9’)) могут служить определением ортогональной матрицы Л.

На основании (14) и общих фактов, полученных в § 16 (петит), отметим матрицы, осуществляющие нижеследующие ортогональные отображения:

136

Λ: (i1, ..., in) → (a1, ..., an) (cm. (7));
Λ*: (a1, ..., an) → (i1, ..., in) (cm. (12'));
Λ': (x1, ..., xn) → (x1, ..., xn) (см. (6) § 16);
Λ: (x1, ..., xn) → (x'1, ..., xn) (см. (16)),

где (x1, ..., xn) и (x'1, ..., x'n) - координаты произвольного вектора в комплексном пространстве Rn относительно базиса (i1, ..., in) и ортонормированного базиса (а1, ..., аn).

Наконец, равенство | |Λ| | = 1 в комплексном случае доказывается так:

Ортогональные матрицы называют еще унитарными.

137

Rambler's Top100
Lib4all.Ru © 2010.