§ 16. Базисы в Rn

В пространстве Rn (действительном или комплексном) введем п векторов:

(1)

называемых ортами осей пространства Rn.

Осью xk пространства Rn называется множество точек вида (0, ..., 0, xk, 0, ..., 0), где xk стоит на k-м месте и пробегает все действительные (комплексные) значения, а вектор ik называется ортом оси xk.

Если а = 1, ..., хп) есть произвольный вектор (действительный в действительном Rn или комплексный в комплексном Rn), то его можно, очевидно, записать в виде линейной комбинации из векторов (1) следующим образом:

а = x1i1 + x2i2 + ... + xnin (2)

122

Так как из равенства а = (x1, ..., хn) = 0 следует, что x1 = ... = хп = 0, то система (i1, ..., in) линейно независима.

Зададим произвольную систему из п линейно независимых векторов

(3)

Как мы знаем (см. § 14, теорема 1), система (3) линейно независима, если определитель

(4)

Если же А = 0, то система (3) линейно зависима.

Согласно теореме 1 § 14 любые п + 1 векторов в пространстве Rn линейно зависимы, так как ранг матрицы из компонент этих векторов не превышает п. Поэтому, если а = (x1, ..., хп) - произвольный вектор и система векторов (3) линейно независима (Δ ≠ 0), то система векторов а1, ..., аn, а линейно зависима, т. е. существуют числа γ1, ..., γn, γn+1, одновременно не равные нулю, такие, что

γ1а1 + ... + γnаn + γn+1а = 0,

где γn+1 ≠ 0 (иначе система (3) была бы линейно зависимой). Отсюда

а =

n
k=1
 x
k
ak (5)

где x

k
=
k
γn+1
  (k = 1, ..., n). Выразим сумму (5) через орты ik (см. (2)):

123

С другой стороны, по (2)

a =

n
l=1
 xl il.

В силу линейной независимости системы i1, ..., in коэффициенты при одинаковых векторах il должны быть равны

x1 =

n
k=1
 aklx
k
(l = 1, …, n) (6)

Таким образом, если компоненты хl вектора а по системе i1, ..., in известны, то компоненты х

k
этого вектора по системе а1, ..., аn находятся из (6) и притом единственным образом, так как определитель системы (6) есть Δ ≠ 0.

Мы доказали, что, какова бы ни была линейно независимая система векторов a1, ..., аn, любой вектор аRn можно разложить по этой системе, т. е. представить в виде суммы (5), где x

1
..., х
n
- некоторые числа, определяемые из (6) и притом единственным образом.

В этом смысле систему векторов а1, ..., аn называют базисом в Rn, желая этим сказать, что любой вектор аRn можно представить в виде линейной комбинации (5) из этих векторов и притом единственным образом. Мы доказали, что произвольная линейно независимая система из п векторов в Rn есть базис в Rn.

Линейно независимая система из т векторов

а1 = (а11, ..., a1m, al,m+l, .... aln),
………………………………….
am = (am1,… amm, am,m+1, ..., amn),

124

где m < n, не есть базис в Rn. В самом деле, ранг матрицы компонент этих векторов равен m. Будем считать, что первые m столбцов этой матрицы образуют определитель, не равный нулю. Расширим эту матрицу, приписав к ней внизу строку

аm+1 = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0),

где 1 стоит на (m + 1)-м месте. Расширенная матрица имеет ранг т + 1, и, следовательно, система векторов а1, ..., ат, аm+1 линейно независима. Но тогда вектор am+l не может быть линейной комбинацией из векторов системы a1, ..., ат, и эта система не есть базис в Rn. Обозначим через

матрицу векторов (а1, ..., аn).

Переход от базиса (i1, ..., in) к базису (а1, ..., аn) осуществляется при помощи матрицы А:

ak =

n
s=1
 aksi, (k = 1, …, n) (7)

т. е. вектор аk выражается через векторы is с помощью k-й строки матрицы А. Обратный переход от (а1, ..., аn) к (i1, ..., in) происходит при помощи обратной матрицы А-1 (см. § 15, (9))

is =

n
s=1
 bslal (s = 1, …, n) (8)

элементы которой вычисляются по формулам bsl =

Als
Δ
  , где Аls - адъюнкт элемента als в определителе Δ (обратим

125

внимание, что элемент bsl, принадлежащий s-й строке и l-му столбцу, выражается через адъюнкт Als элемента als, принадлежащего l-й строке и s-му столбцу). Отметим еще, что

откуда

x

l
=
n
s=1
 bslxs (9)

т. е. переход от координат (x1, ,.., хп) к (х

1
, ..., x
n
) происходит при помощи матрицы (см. § 3)

(А-1)' = (А')-1.

Из (9) видно, что x

l
выражается через x1, ..., хп с помощью l-го столбца матрицы А-1 или l-й строки матрицы (А-1)', транспонированной к А-1.

Далее по формуле (6)

xs =

n
l=1
 alsx
l
(s = 1, …, n)

видно, что переход от (х

1
, ..., х
п
) к (х1, ..., хп) совершается при помощи матрицы А' транспонированной к А, т. е. xs выражается через х
1
, ..., х
п
с помощью s-й строки матрицы А' или s-гo столбца матрицы А.

Замечание. В § 15 было установлено, что произвольная квадратная матрица

(10)

определяет линейный оператор у = Ах (хRn, уRn), задаваемый по формулам

126

yk =

n
j=1
 akjxj (k = 1, …, n) (11)

Но имеет место и обратное утверждение: каков бы ни был линейный оператор у = Ах (хRn, уRn), он определяется некоторой матрицей (10) так. что вектор у = Ах вычисляется по вектору х по формулам (11).

В самом деле, пусть задан произвольный линейный оператор у = Ах (хRn, уRn). Обозначим образы ортов in при его помощи следующим образом:

A(is) = (a1s, a2s, …, ans) =

n
k=1
  aksik (s = 1, …, n)

Тогда в силу линейности А любой вектор

x = x1i1 + … + xnin =

n
s=1
 xsis

отображается при помощи А в вектор у, определяемый равенствами

откуда следует, что k-я компонента у определяется по формуле (11). Таким образом, оператор А порождает матрицу (10), у которой в столбцах стоят координаты образов базисных векторов (ортов) при помощи оператора А.

Пример 1. Найти матрицу линейного оператора (преобразования) А, заключающегося в повороте векторов плоскости R2, выходящих из начала, на угол α (0 < α < π/2) против часовой стрелки.

127

Рис. 34
Рис. 34

Возьмем за базис векторы i1 = (1, 0), i2 = (0, 1). Тогда, очевидно, что (рис. 34)

A(il) = (cos α, sin α),
A(i2) = (-sin α, cos α).

Поэтому матрица нашего оператора имеет вид

128

Rambler's Top100
Lib4all.Ru © 2010.