§ 10. Прямая в пространстве

10.1. Уравнение прямой в каноническом виде. Рассмотрим в пространстве произвольную прямую L. Отметим на ней точку (x₀, y₀, z₀), определяющую радиус, вектор ρ⁰ = (х₀, у₀, z₀) и лежащий на ней вектор а = (a₁, а₂, а₃) ≠ 0, приложенный к точке Q⁰ = (x₀, y₀, z₀) (Рис. 23). Произвольную текущую точку прямой L обозначим через Q = (x, y, z) и ее радиус-вектор через ρ = (х, у, z) Вектор ρ - ρ⁰ можно записать в виде ρ - ρ⁰ = ta, где t - некоторое число (скаляр). Если действительная переменная t пробегает интервал (-∞, ∞), то конец вектора ρ = ρ⁰ + ta пробегает всю прямую L. Поэтому говорят, что равенство

ρ - ρ⁰ = ta (-∞ < t < ∞) (1)

89

есть уравнение прямой, проходящей через точку Q⁰ = (х₀, y₀, z₀) и направленной в сторону вектора а.

На языке координат уравнение (1) распадается на три уравнения:

(1’)

Исключая из них параметр t, получим уравнения прямой (систему из двух уравнений)

x - x0

a1

  =

y - y0

a2

 

z - z0

a3

  (1’’)

где числа а₁ а₂, а₃ одновременно не равны нулю. Уравнения (1") называются уравнениями прямой в каноническом виде.

Замечание. Может случиться, что одно или два из чисел а₁, а₂, а₃ равно нулю. Тогда все же принято писать равенства (1") с нулем или двумя нулями в знаменателях. Такая запись становится тогда символической, но она удобна.

Пример 1. Уравнения

x - 1

1

  =

y - 2

0

  =

z - 3

2

  (2)

определяют прямую в пространстве, проходящую через точку (1, 2, 3) в направлении вектора (1, 0, 2).

Эти уравнения можно заменить на следующие им эквивалентные:

у - 2 = 0 ∙ (х - 1), 2(х - 1) = z - 3,

т. е.

у = 2, z = 2х + 1. (2Л)

90

Таким образом, рассматриваемая прямая есть пересечение двух плоскостей, определяемых уравнениями (2').

Пример 2. Уравнения прямой

x - 1

1

  =

y - 2

0

  =

z - 3

0

 

эквивалентны следующим:

у - 2 = 0, z - 3 = 0.

10.2. Расположение двух плоскостей. Пусть заданы уравнения двух плоскостей

Ах + By + Cz + D = О, (3)

А'х + Е'у + C'z + D' = 0. (4)

Если коэффициенты первого из них соответственно пропорциональны коэффициентам второго (А : В : С = А' : В’ : С'), то плоскости (3) и (4) параллельны или даже совпадают (при условии А : В : С : D = А' : В' : С' : D') (см. § 9, (17) и (18)). В противном случае плоскости (3) и (4) пересекаются по прямой. В этом случае один из определителей

не равен нулю. Для определенности будем считать, что первый

(5)

Тогда уравнения (3), (4) можно решить относительно х и y, и мы получим

(6)

91

где α, β, μ, ν - некоторые числа. Уравнения (6) эквивалентны следующим:

x - μ

α

  =

y - |ν

β

  =

z

1

  (7)

Мы видим, что при условии (5) уравнения двух плоскостей (3), (4) определяют прямую (7), т. е. геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям (3), (4). Она проходит через точку (μ, ν, 0) и имеет направление вектора (α, β, 1). Числа а, р или одно из них могут быть равными нулю, тогда уравнения (7) будут иметь символический характер.

Пример 3. Прямая, определяемая уравнениями х = 0, у = 0, есть, очевидно, координатная ось z. К этому результату можно прийти и формально. Имеем

х = 0 ∙ z, у = 0 ∙ z,

откуда

x

0

  =

y

0

  =

z

1

 

т. е. мы получили уравнения прямой, проходящей через начало координат (0, 0, 0) в направлении вектора (О, О, 1). Ясно, что эта прямая есть ось z.

Пример 4. Найти угол между прямыми

x - x1

a1

  =

y - y1

b1

  =

z - z1

c1

  (8)

x - x2

a2

  =

y - y2

b2

  =

z - z2

c2

  (9)

Векторы r₁ = (a₁, b₁, c₁), r₂ = (а₂, b₂, с₂) лежат на наших прямых и, как мы условились, они приложены соответственно к точкам (x₁, y₁, z₁), (x₂, y₂, z₂). Поэтому угол φ

92

между этими векторами и будет углом между прямыми (8) и (9):

cos φ =

a1a2 + b1b2 + c1c2

|r1| |r2|

 

ЗАДАЧИ

1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (2, -1, 0) перпендикулярно к плоскости 2х + z - 4у = 7.
2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (1, -1, 2) и перпендикулярной к прямой, определяемой уравнениями 2х + 3у - 1, 3х - z = 1.

93