§ 10. Прямая в пространстве

10.1. Уравнение прямой в каноническом виде. Рассмотрим в пространстве произвольную прямую L. Отметим на ней точку (x0, y0, z0), определяющую радиус, вектор ρ0 = 0, у0, z0) и лежащий на ней вектор а = (a1, а2, а3) ≠ 0, приложенный к точке Q0 = (x0, y0, z0) (Рис. 23). Произвольную текущую точку прямой L обозначим через Q = (x, y, z) и ее радиус-вектор через ρ = (х, у, z) Вектор ρ - ρ0 можно записать в виде ρ - ρ0 = ta, где t - некоторое число (скаляр). Если действительная переменная t пробегает интервал (-∞, ∞), то конец вектора ρ = ρ0 + ta пробегает всю прямую L. Поэтому говорят, что равенство

ρ - ρ0 = ta (-∞ < t < ∞) (1)

Рис. 23
Рис. 23

89

есть уравнение прямой, проходящей через точку Q0 = 0, y0, z0) и направленной в сторону вектора а.

На языке координат уравнение (1) распадается на три уравнения:

(1’)

Исключая из них параметр t, получим уравнения прямой (систему из двух уравнений)

x - x0
a1
  =
y - y0
a2
 
z - z0
a3
  (1’’)

где числа а1 а2, а3 одновременно не равны нулю. Уравнения (1") называются уравнениями прямой в каноническом виде.

Замечание. Может случиться, что одно или два из чисел а1, а2, а3 равно нулю. Тогда все же принято писать равенства (1") с нулем или двумя нулями в знаменателях. Такая запись становится тогда символической, но она удобна.

Пример 1. Уравнения

x - 1
1
  =
y - 2
0
  =
z - 3
2
  (2)

определяют прямую в пространстве, проходящую через точку (1, 2, 3) в направлении вектора (1, 0, 2).

Эти уравнения можно заменить на следующие им эквивалентные:

у - 2 = 0 ∙ (х - 1), 2(х - 1) = z - 3,

т. е.

у = 2, z = 2х + 1. (2Л)

90

Таким образом, рассматриваемая прямая есть пересечение двух плоскостей, определяемых уравнениями (2').

Пример 2. Уравнения прямой

x - 1
1
  =
y - 2
0
  =
z - 3
0
 

эквивалентны следующим:

у - 2 = 0, z - 3 = 0.

10.2. Расположение двух плоскостей. Пусть заданы уравнения двух плоскостей

Ах + By + Cz + D = О, (3)

А'х + Е'у + C'z + D' = 0. (4)

Если коэффициенты первого из них соответственно пропорциональны коэффициентам второго (А : В : С = А' : В’ : С'), то плоскости (3) и (4) параллельны или даже совпадают (при условии А : В : С : D = А' : В' : С' : D') (см. § 9, (17) и (18)). В противном случае плоскости (3) и (4) пересекаются по прямой. В этом случае один из определителей

не равен нулю. Для определенности будем считать, что первый

(5)

Тогда уравнения (3), (4) можно решить относительно х и y, и мы получим

(6)

91

где α, β, μ, ν - некоторые числа. Уравнения (6) эквивалентны следующим:

x - μ
α
  =
y - |ν
β
  =
z
1
  (7)

Мы видим, что при условии (5) уравнения двух плоскостей (3), (4) определяют прямую (7), т. е. геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям (3), (4). Она проходит через точку (μ, ν, 0) и имеет направление вектора (α, β, 1). Числа а, р или одно из них могут быть равными нулю, тогда уравнения (7) будут иметь символический характер.

Пример 3. Прямая, определяемая уравнениями х = 0, у = 0, есть, очевидно, координатная ось z. К этому результату можно прийти и формально. Имеем

х = 0 ∙ z, у = 0 ∙ z,

откуда

x
0
  =
y
0
  =
z
1
 

т. е. мы получили уравнения прямой, проходящей через начало координат (0, 0, 0) в направлении вектора (О, О, 1). Ясно, что эта прямая есть ось z.

Пример 4. Найти угол между прямыми

x - x1
a1
  =
y - y1
b1
  =
z - z1
c1
  (8)

x - x2
a2
  =
y - y2
b2
  =
z - z2
c2
  (9)

Векторы r1 = (a1, b1, c1), r2 = 2, b2, с2) лежат на наших прямых и, как мы условились, они приложены соответственно к точкам (x1, y1, z1), (x2, y2, z2). Поэтому угол φ

92

между этими векторами и будет углом между прямыми (8) и (9):

cos φ =

a1a2 + b1b2 + c1c2
|r1| |r2|
 

ЗАДАЧИ

  1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (2, -1, 0) перпендикулярно к плоскости 2х + z - 4у = 7.
  2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (1, -1, 2) и перпендикулярной к прямой, определяемой уравнениями 2х + 3у - 1, 3х - z = 1.

93

Rambler's Top100
Lib4all.Ru © 2010.