Для установления области наиболее рационального применения того или иного способа и определения круга задач, при решении которых он оказывается наиболее эффективным, было рассмотрено большое количество позиционных и метрических задач. При этом одна и та же задача решалась различными способами. Некоторые из них приведены в книге.
К ним относятся задачи по нахождению расстояния между скрещивающимися прямыми, определению угла между двумя плоскостями, нахождению точки встречи прямой с плоскостью, построению линии пересечения поверхностей и ряд других задач.
Сопоставление различных способов решения задачи по нахождению расстояния между скрещивающимися прямыми приводит нас к выводу, что наиболее рациональное решение достигается с помощью способа вспомогательного проецирования, причем самое простое решение получается способом построения комбинированных вспомогательных проекций (см. рис. 52).
Действительно, для определения расстояния между прямыми АВ и CD на рис. 52 потребовалось построить всего лишь одну вспомогательную проекцию, а при решении этой задачи классическим способом необходимо строить четыре проекции [исключение представляет способ Торохова (рис. 26), при котором для получения ответа достаточно строить только две проекции].
При сравнении решения, приведенного на рис. 52, с решением по способу С.М. Колотова (рис. 32) или путем проектирования на две пересекающиеся не под прямым углом плоскости (рис. 44), по признаку количества графических построений, невозможно отдать предпочтение тому или другому способу, но если принять во внимание не только механическую работу, но и умственную, то становится ясным, что комбинированный способ требует меньшего умственного напряжения, а сами построения осуществляются проще и, что очень важно, логичнее. Кроме того, решение задачи по способу С.М. Колотова требует предварительного построения диаграммы.
К аналогичным выводам мы приходим также и при решении другой метрической задачи - определению угла между двумя плоскостями (рис. 7, 10, 20, 33, 45, 53).
Решение этой задачи комбинированным способом с использованием прямоугольного проецирования (рис. 53) оказывается наиболее простым.
150
В дальнейшем мы не будем останавливаться на разборе преимуществ того или иного способа решения применительно к конкретной задаче, а перейдем к оценке каждого из рассмотренных способов с точки зрения его целесообразности при решении определенного круга задач.
При составлении оценки использовались данные ряда исследований, проведенных в этой области [30], [2], а также результаты сопоставления решений большего количества разнообразных задач, выполненных автором.
Приведенные ниже рекомендации не являются абсолютными, их следует рассматривать лишь как ориентировочную оценку целесообразности применения того или иного способа к решению определенного круга задач.
Способ вращения можно широко применять для решения разнообразных задач начертательной геометрии, имеющих как метрический, так и позиционный характер. При этом следует иметь в виду, что вращение вокруг осей, перпендикулярных плоскостям проекций, в большинстве случаев приводит к громоздким и запутанным построениям. Это происходит благодаря неизбежному наложению новых проекций на старые.
Избежать наложения проекций можно, применив способ параллельного перемещения. Решение задачи этим способом значительно облегчается при использований кальки. В этом случае одну из двух (или две из четырех) дополнительных проекций не строят, а перечерчивают на кальку, которую затем прикладывают в наиболее удобном месте чертежа. Следующую вспомогательную проекцию строят с помощью проекции, изображенной на кальке, и одной из предшествующих проекций.
Способ вращения хорошо применять особенно тогда, когда приходится решать плоскостные задачи. Вращение в этом случае осуществляется вокруг главных линий (в частном случае вокруг следов плоскости), что позволяет получить исключительно простые решения.
Особенно следует рекомендовать этот способ для определения натуральной величины плоских фигур и решения различных метрических задач на плоскости.
Способ перемены плоскостей проекций, как и способ вращения, позволяет упростить решение многих метрических и позиционных задач.
151
Свобода выбора положения новых осей проекций позволяет получить более наглядный эпюр (по сравнению с эпюром, получающимся при решении способом вращения).
Преимущество способа перемены плоскостей проекций проявляется также и в уменьшении количества дополнительных проекций. Наиболее ярко это преимущество выявляется при одновременной замене двух плоскостей проекций (способ В.А. Торохова). Способ перемены плоскостей проекций дает наиболее рациональные решения в тех случаях, когда по условиям задачи требуется выяснить взаимное расположение геометрических элементов, расположенных в одной или нескольких параллельных плоскостях. Эти задачи могут быть метрическими и позиционными.
Сочетание способа перемены плоскостей проекций со способом вращения следует использовать в тех случаях, когда применение каждого из этих способов в отдельности приводит к громоздким и неудобным построениям. Примером могут служить задачи на рис. 23 и 24.
Необходимо иметь в виду, что сокращение графических построений будет только в том случае, если мы заменяем вращение переменой плоскостей проекций, а не наоборот.
Способ вспомогательного проецирования может быть применен для решения различных (как метрических, так и позиционных) задач начертательной геометрии. При этом решения получаются более простыми, чем с помощью классических способов.
Ранее, на примере решения задач по определению расстояния между двумя скрещивающимися прямыми и угла между двумя плоскостями, было показано преимущество способа вспомогательного проецирования над классическими способами решения этих простых задач.
Особенно ярко это преимущество выявляется при решении более сложных задач.
На рис. 54 и 57 приведены решения задачи по определению линий пересечения призмы и цилиндра, произвольно расположенных в пространстве.
В первом случае решение выполнено с помощью проецирования на вспомогательную плоскость (комбинированный способ), во втором - путем косоугольного проецирования на биссекторную плоскость второго и четвертого октантов. Оба решения простые.
152
Для получения ответа потребовалось построить только одну вспомогательную проекцию, в то время как, решая эту задачу с помощью способа вращения или перемены плоскостей проекций, пришлось бы строить минимум четыре вспомогательные проекции.
Способ вспомогательного проецирования в зависимости от вида проецирования (центрального, косоугольного или прямоугольного) и характера выбранной плоскости проекций (специально выбранную или используя для этой цели одну из заданных плоскостей проекций) подразделяется на несколько самостоятельных вариантов.
Теперь мы остановимся на вопросе, какому же из этих способов следует отдать предпочтение при решении различных задач?
Выбор того или иного способа зависит от условий задачи. Так, для решения задач на пересечение призмы с цилиндром, призмы с призмой или цилиндра с цилиндром наиболее эффективным оказывается способ параллельного (косоугольного и прямоугольного) проецирования на специально выбранную плоскость (способ С.М. Колотова).
В тех случаях, когда разноименные проекции ребер призмы или образующих цилиндров пересекаются в удобном месте чертежа (не накладываются на заданные проекции), наиболее целесообразным является проецирование на биссекторную плоскость второго и четвертого октантов (рис. 57). Применение этого способа нецелесообразно, а иногда и невозможно в тех случаях, когда образующие цилиндра или ребра призмы составляют малые углы с осью абсцисс или параллельны ей, так как в этом случае не удается получить на эпюре точек встречи образующих или ребер с биссекторной плоскостью.
Способ косоугольного вспомогательного проецирования позволяет весьма просто решать задачи на построение сечения призм и цилиндров плоскостью (см. рис. 36).
Если требуется определить сечение пирамиды или конуса плоскостью, целесообразно использовать параллельное проецирование на координатную плоскость в направлении горизонтали (или фронтали) секущей плоскости.
Для задач по определению точек встречи линии с поверхностью конуса наиболее целесообразно использовать центральное проецирование. Так как при нем удается наилучшим образом использовать закон образования такой поверхности, что позволяет получить экономичные решения (см. рис. 38).
Для определения точек встречи линии с поверхностью вращения наиболее экономичный способ решения получается при использовании окружностного проецирования (см. рис. 64, 65, 66).
В тех случаях, когда по условию задачи необходимо определить форму и размеры полученного сечения, наиболее целесообразно применять
153
комбинированный способ (см. рис. 50, 54). Следует иметь в виду, что для решения метрических задач лучшие результаты достигаются при применении комбинированного способа или прямоугольного проецирования на две плоскости, пересекающиеся не под прямым углом.
Различные способы вспомогательного проецирования позволяют значительно, по сравнению с классическими способами упростить решение задачи только в тех случаях, когда в ней не участвуют пространственные кривые или тела, ограниченные поверхностями с криволинейными образующими.
Способ проективных преобразований эффективен при решении позиционных задач, в которых участвуют нелинейчатые поверхности второго порядка.
Перспективно-аффинные преобразования. С помощью перспективно-аффинного (родственного) преобразования удается просто решать задачи на определение линий пересечения тел, ограниченных нелинейчатыми поверхностями второго порядка с призмой, пирамидой или цилиндром.
Способ родственного преобразования существенно не упрощает решение задач, в которых участвуют две фигуры, ограниченные нелинейчатыми поверхностями второго порядка.
Правда, в этом случае мы можем вдвое сократить количество лекальных кривых, которые необходимо вычерчивать для получения ответа. Это сокращение происходит за счет преобразования одной из пересекающихся поверхностей в поверхность вращения.
Одновременное преобразование двух нелинейчатых поверхностей второго порядка в поверхности вращения может быть осуществлено только в частном случае, при котором, во-первых, эллипсы нормальных сечений каждой из поверхностей подобны и подобно расположены; во-вторых, оси обеих поверхностей параллельны друг другу.
Гомологические преобразования. Гомология позволяет преобразовать эллипсоид, параболоид и гиперболоид вращения в шар. Поэтому этот способ целесообразно применять в тех случаях, когда по условию задачи требуется найти линию пересечения параболической или гиперболической поверхности вращения с произвольно расположенными цилиндрическими или коническими поверхностями. Тип задач и характер их решения приведен на рис. 96.
Гомотетические преобразования. Гомотетические преобразования позволяют значительно упростить решение позиционных задач с
154
участием криволинейных поверхностей второго порядка (эллиптических, параболических, гиперболических), которые могут пересекаться с конической поверхностью по двум плоским кривым.
Этим способом целесообразно пользоваться также для нахождения линий пересечения конических поверхностей со скрещивающимися осями (см. рис. 98) или нелинейчатых поверхностей второго порядка с осями, параллельными одной из плоскостей проекций (см. рис. 100).
Сочетание способа проективных преобразований с классическими способами. Выше было отмечено, что использование способа проективных преобразований оказывается целесообразным лишь в тех случаях, когда оси фигур, ограниченных нелинейчатыми поверхностями второго порядка, будут перпендикулярны или, в случае линейчатых поверхностей, параллельны какой-либо плоскости проекции.
Поэтому в случае произвольного расположения осей пересекающихся поверхностей необходимо предварительно с помощью классических методов преобразовать эпюр так, чтобы оси этих поверхностей заняли требуемое положение.
Существенным преимуществом способа пространственных преобразований является возможность выносить построения за пределы основного чертежа.
Кроме того, способ пространственных преобразований не связан с осями координат, поэтому он с успехом может применяться в безосной системе.
Способ топологических преобразований позволяет решать наиболее сложные позиционные задачи начертательной геометрии, если в них принимают участие геометрические тела, имеющие подобные и подобно расположенные сечения.
Наиболее целесообразным оказывается использование этого способа в тех случаях, когда остальные способы требуют слишком громоздких построений или не могут дать точного решения.
Решение с помощью топологических преобразований отличается большой наглядностью, что исключает возможность появления грубых ошибок.
Целесообразность использования квадратичного преобразования состоит в том, что его применение позволяет обойтись без построения лекальных кривых, получаемых при сечении поверхностей плоскостями,
155
и заменить их соответствующими прямыми. Это значительно упрощает построения и увеличивает точность решения.
Область применения способа квадратичных преобразований ограничена. Он может быть использован только для нахождения линий пересечения некоторых поверхностей и то лишь в том случае, когда эти поверхности расположены так, что кривые, полученные при сечении вспомогательными плоскостями, будут иметь общую ось и фокус. К таким случаям относятся, в частности, задачи по определению линии пересечения поверхности тора с поверхностями второго порядка.
156
