§ 37. Сравнительная оценка способов

В предыдущих главах были рассмотрены различные способы начертательной геометрии, с помощью которых можно преобразовать эпюр, заданный в ортогональных проекциях.

Какому из них следует отдать предпочтение при решении какой-либо задачи, условия которой заданы в ортогональных проекциях?

Принято считать, что решение задач начертательной геометрии тем лучше, чем меньше количество вспомогательных построений. Для подсчета количества графических построений пользуются геометро-графическим способом.

К одной из первых попыток объективной оценки простоты и точности геометрических построений относится работа Е. Лемуана, вышедшая в 1897 г.¹.

Сущность геометрографии сводится к тому, что любой чертеж расчленяют на элементарные операции (приложить линейку к точке, провести линию, поместить острие циркуля в данную точку, провести окружность и т.д.). Каждая операция оценивается определенным коэффициентом. Сумма этих коэффициентов указывает на величину так называемого коэффициента простоты.

Например, для того чтобы через середину отрезка АВ провести прямую, перпендикулярную АВ, необходимо поместить острие ножки циркуля в точку А и провести дугу радиусом R, величина которого больше половины длины отрезка AB. Этим же радиусом провести дугу

148

из конца отрезка В. Затем с помощью линейки, приложенной к двум точкам, полученным в пересечении дуг, провести нужную прямую.

Если оценить постановку ножки циркуля в данную точку коэффициентом С₁ = 1, проведение дуги С₂ = 1, приложение линейки к двум точкам С₃ = 2, проведение прямой по линейке С₄ = 1, то коэффициент простоты для такого построения будет равен семи.

Таким способом можно оценить степень сложности любых геометрических построений. Из двух построений более простым считается тот, коэффициент простоты которого меньше.

Лучшим решением следует считать не только экономичное, но и более точное. С этой точки зрения геометрографический способ не дает объективной оценки рациональности того или иного решения.

Действительно, в приведенном примере величину радиуса дуг можно взять в одном случае значительно больше половины длины отрезка, во втором - чуть больше его половины.

Во втором случае точки пересечения дуг будут находиться близко друг от друга и при приложении к ним линейки для проведения перпендикуляра вероятность ошибки в величине угла увеличивается, в то же время коэффициент простоты в обоих случаях остается постоянным.

Кроме того, определение "Чем меньше количество вспомогательных построений, тем лучше решение" не может считаться исчерпывающим, так как сокращение одних только графических построений не может служить надежным критерием не только точности, но и простоты решения.

Действительно, изображенные на чертеже построения являются результатом той умственной работы, которая выполнялась в процессе решения задачи. Она совершенно не учитывается отмеченными выше критериями. Существенную роль при оценке способа решения задачи играет также наглядность построений.

В силу сказанного для оценки целесообразности применения того или иного способа для решения задачи необходимо, кроме количества графических построений по возможности, учитывать и другие факторы.

Следует считать наиболее простым и рациональным решением задачи начертательной геометрии такое, при котором возможно получить максимальную точность при минимальной затрате труда и времени.

149