§ 34. Построение кривых второго порядка
способом квадратичного преобразования

В тех случаях, когда кривая второго порядка задана определенными условиями, для построения точек этой кривой можно применить квадратичное преобразование.

Для построения кривой второго порядка способом квадратичных преобразований достаточно знать фокус кривой и ее ось, они определят положение центра и оси симметрии преобразования.

Имея центр и ось преобразования, можно построить прямую, которая при квадратичном преобразовании даст искомую кривую.

В качестве примера рассмотрим задачу на построение эллипса, если заданы его оси (рис. 126).

Принимаем большую ось эллипса за ось симметрии. Центр преобразования, как было отмечено раньше, должен совпадать с одним из фокусов эллипса. Для его нахождения достаточно один из концов малой оси эллипса принять за центр окружности, из которого провести дугу радиусом, равным половине большой оси эллипса О1С1.

Точки F и F1, в которых эта дуга пересечет большую ось, являются фокусами эллипса. Принимаем один из них за центр преобразования О. Положение центра О и оси симметрии вполне определяют преобразование. Через точку О проводим граничные прямые MN и KL.

Очевидно, точки прямой CD, которые преобразуются в двойные точки

Рис. 126
Рис. 126

136

концов большой оси эллипса С1 и D1, могут быть определены пересечением прямых, проведенных через точки С и D параллельно двойной прямой р, с граничными прямыми. Точки C и D определяют положение отрезка искомой прямой. Преобразование каждой точки этого отрезка даст две точки эллипса, симметрично расположенные относительно его большой оси.

137

Rambler's Top100
Lib4all.Ru © 2010.