§ 33. Квадратичное преобразование прямой

Из свойства квадратичного преобразования следует, что при определенных условиях прямая может быть преобразована в кривую линию.

Действительно, точки С и D произвольной прямой АВ, лежащей в плоскости Q, преобразуются в совпадающие точки С1С2 и D1D2 (рис. 121).

Рис. 121 Рис. 122
Рис. 121 Рис. 122

134

Рис. 123
Рис. 123

Любая точка Е, лежащая на прямой АВ в интервале CD, преобразуется в две действительные точки Е1 и E2. Точки, расположенные на прямой АВ, левее точки С и правее точки D, преобразуются в мнимые. Следовательно, отрезок прямой CD может быть преобразован в замкнутую кривую, в частном случае, в эллипс или окружность.

Если угол наклона прямой АВ к оси симметрии меньше 45°, то такая прямая имеетнесобственные точки в областях мнимых точек преобразования. Как известно, кривая второго порядка, обладающая только мнимыми несобственными точками, является эллипсом1 (рис. 122).

Если прямая параллельна оси симметрии, то как это ясно из рис. 123, она преобразуется в окружность.

Если прямая составит с осью симметрии угол ± 45°, то такая прямая преобразуется в параболу (рис. 124). Действительно, заданная прямая пересекает одну из граничных прямых (MN) в несобственной точке, которая преобразуется в несобственную вершину кривой. Вторая вершина кривой определится преобразованием точки С, в которой заданная прямая АВ пересекает другую граничную прямую (KL).

Рис. 124 Рис. 125
Рис. 124 Рис. 125

135

Если прямая составляет с осью симметрии угол больше 45°, то она преобразуется в гиперболу (рис. 125). Это следует из того, что прямая АВ имеет несобственную точку в области действительных точек преобразования, поэтому она преобразуется в кривую второго порядка с двумя действительными несобственными точками, т.е. гиперболу.

Следует подчеркнуть, что рассмотренные преобразования прямой в различные кривые второго порядка возможны лишь в частных случаях преобразования. Необходимым условием такого преобразования является совпадение оси симметрии и центра преобразования с осью и фокусом кривой.

136


1 Аналитическое доказательство возможности преобразования прямой в эллипс, окружность, параболу или гиперболу способом квадратичных преобразований имеется в статье О.В. Локтева "Применение одного квадратичного преобразования к некоторым вопросам пересечения поверхностей", помещенной в сборнике статей [18].
Rambler's Top100
Lib4all.Ru © 2010.