§ 32. Квадратичное преобразование точки

Основу квадратичного способа составляет преобразование следующего вида.

Пусть произвольная точка А пространства лежит в плоскости Q (рис. 117).

Через произвольную точку о этой плоскости проведем две взаимно перпендикулярные прямые r и р. Через точку А проведем прямую q, параллельную прямой р. Из точки о опишем окружность радиусом, равным расстоянию от точки А до прямой r.

Будем считать, что каждая точка плоского поля преобразуется в точки, в которых эта окружность пересекает прямую q.

В общем случае каждой точке А плоскости Q будут соответствовать две точки А1 и А2, также лежащие в этой плоскости. Из чертежа видно, что в плоскости Q существует еще одна точка A, которая преобразуется в те же точки А1 и A2.

Построения, выполненные на рис. 117, обеспечивают взаимнодвузначное преобразование. Это преобразование будет вполне определено, если заданы точка о - центр преобразования и одна из прямых - двойная прямая (в нашем случае совпадающая с прямой р) или ось симметрии преобразования (прямая, совпадающая с прямой r).

Следует отметить, что точка В или В, равноудаленная от двойной прямой р и оси симметрии r, т.е. лежащая на прямых, проходящих через центр преобразования о и составляющих с прямыми p и r углы в 45°, преобразуется в две совпадающие точки В1 и B2, лежащие на оси симметрии (рис. 118).

Любая точка С, расстояние которой от двойной прямой больше, чем от оси симметрии, преобразуется в мнимые точки (рис. 110).

Приведенные чертежи показывают, что квадратичное преобразование позволяет, в зависимости от положения точки на плоскости, получить соответствующие ей две действительные различные точки

Рис. 117 Рис. 118 Рис. 119
Рис. 117 Рис. 118 Рис. 119

133

Рис. 120
Рис. 120

(рис. 117); две действительные совпадающие точки (рис. 118) и мнимые точки (рис. 119).

На рис. 120 показаны две области I и II. Любая точка области I преобразуется в две действительные точки; любая точка области II преобразуется в мнимые точки. Точки, лежащие на границе этих областей (прямых MN и KL), преобразуются соответственно в две действительные совпадающие точки.

134

Rambler's Top100
Lib4all.Ru © 2010.