Глава V
Основу способа квадратичных преобразований [12, 18, 22] составляет взаимно-двузначное преобразование. При таком преобразовании каждой точке плоскости взаимно соответствуют две точки, принадлежащие этой же плоскости. При этом соответствующие точки могут быть действительными и мнимыми, различными и совпадающими.
С помощью способа квадратичных преобразований так же, как и при топологическом способе, можно преобразовать кривую в отрезок прямой (точнее, в силу симметричности квадратичных преобразований, в отрезки двух прямых).
При определенном условии задания квадратичных преобразований такие кривые можно преобразовать в гомотетичные кривые.
Правда, квадратичные преобразования не обладают такими широкими возможностями в смысле деформативности, какие присущи топологическим преобразованиям. Поэтому с помощью квадратичных преобразований в прямую или гомотетичную кривую могут быть преобразованы только некоторые закономерные кривые, в частности, кривые сечения поверхности прямого кругового конуса (окружность, эллипс, парабола, гипербола).
Преобразование кривых второго порядка квадратичным способом позволяет по-новому решать задачу по определению точек пересечения кривых.
План решения такой задачи следующий:
- 1) преобразовываем каждую из заданных кривых в прямую (в некоторых случаях одна из кривых может преобразовываться в гомотетичную кривую);
- 2) находим точку (точки) пересечения прямых (или прямой с кривой);
- 3) полученную точку (точки) пересечения преобразовываем по тому же закону, по какому были преобразованы кривые, но все операции выполняются в обратном порядке.
Определенные таким путем точки будут искомыми точками пересечения кривых.
131
Такой необычный, на первый взгляд, план решения задач приобретает смысл в том случае, если требуется определить линию пересечения двух поверхностей, в сечении которых плоскостью получаются кривые второго порядка.
Целесообразность использования квадратичного преобразования обусловливается тем, что можно обойтись без построения кривых, полученных при сечении поверхностей плоскостями, и заменить их соответствующими прямыми.
Ход решения задачи на построение линий пересечения двух поверхностей квадратичных преобразований следующий:
- 1) проводим вспомогательную секущую плоскость, которая рассекает заданные поверхности по двум кривым второго порядка;
- 2) строим прямые, взаимно-двузначно соответствующие кривым, полученным в сечении, построения самих кривых избегаем; прямые строим по точкам, принадлежащим этим кривым, которые могут быть взяты с комплексного чертежа без дополнительных построений;
- 3) находим точки пересечения этих прямых;
- 4) по тому же закону, который был применен для построения прямых, соответствующих кривым, определяем положение точек пересечения прямых в исходном положении (построения выполняются в обратной последовательности).
Рассекая поверхность рядом параллельных секущих плоскостей и повторяя каждый раз описанную операцию, можно получить достаточное количество точек, необходимых для построения искомой линии пересечения.
Приведенный план решения задачи показывает одну особенность способа квадратичного преобразования, которая состоит в том, что в отличие от ранее рассмотренных способов он не может применяться самостоятельно, а используется лишь совместно с геометрическим способом секущих плоскостей.
Далее следует иметь в виду, что квадратичному преобразованию подвергаются не заданные геометрические фигуры, а только кривые линии, по которым эти фигуры рассекаются вспомогательной секущей плоскостью.
Исключение составляет только узкий круг задач, в которых одной из пересекающихся поверхностей является тор, а другой - круговой цилиндр. Здесь, как в случае проективных преобразований и топологического способа, преобразованию подвергаются обе геометрические фигуры.
132
