§ 27. Установление связи между точками
исходной и преобразованной фигуры

Топология рассматривается нами с точки зрения возможности ее использования, для преобразования заданных ортогональных проекций, с целью облегчения решения задач начертательной геометрии. Поэтому мы остановимся только на таких преобразованиях, которые можно легко осуществить графически.

С этой целью удобно рассматривать геометрическую фигуру неразрывно связанной с трехмерным пространством, в котором она находится.

В этом случае, преобразовывая (деформируя) пространство, мы будем преобразовывать и геометрическую фигуру. Очевидно, подвергая пространство различной деформации, можно произвольную геометрическую фигуру преобразовать в любую другую, по форме и свойствам наиболее удобную для решения данной конкретной задачи.

Как было отмечено раньше, сущность способа топологических преобразований состоит в том, что решение задачи осуществляется на

117

Рис. 108
Рис. 108

преобразованном виде фигуры с последующим возвращением полученного результата на исходные ортогональные проекции.

Поэтому, чтобы сделать возможным практическое использование топологических преобразований, необходимо установить графически соответствие между точками преобразованного и исходного пространств.

Такое соответствие может быть легко осуществлено с помощью двух взаимно перпендикулярных лучей, проходящих через точку, и двух взаимно соответствующих поверхностей преломления.

Допустим, что отрезок общего положения АВ длиной L топологически преобразован в отрезок А1В1 длиной Z1 также общего положения. При этом удаление концов отрезка от плоскостей H и V (рис. 108) в исходном и преобразованном положении не изменяется (Аа = А1а1, Аа' = A1a'1 u Bb = B1b1, a Bb' = B1b'1). Такое преобразование можно осуществить путем равномерной деформации растяжения пространства Π, в котором находится отрезок, в Π1 по направлению оси X.

Для наглядности исходное пространство Π ограничено плоскостями Р и R, после деформации расстояние между плоскостями Р1 R1 увеличится1. Чтобы не затруднять чтения чертежа, преобразованное пространство Π1 на рис. 108 смещено вправо. Связь между точками пространства Π и Π1 осуществлена посредством двух взаимно перпендикулярных пучков лучей и двух взаимно соответствующих плоскостей преломления Q и Q1; одной Q - в исходном, другой Q1 - в преобразованном пространстве.

Для простоты построения плоскость Q взята перпендикулярно V. Угол наклона ее к плоскости H произвольный. Соответствующая ей

118

Рис. 109
Рис. 109

плоскость Q1 деформированного пространства также фронтально-проецирующая.

Точке А исходного пространства соответствует точка А1 преобразованного пространства. Соответствие установлено с помощью лучей АА1 и Аа0. Луч АА1 параллелен плоскости H, a Aa0 перпендикулярен H. Второй луч встречается с плоскостью преломления Q в точке а0 и отражается от нее в пространство П1 в направлении, параллельном первому лучу АА1. В пространстве П1 второй луч встречается с плоскостью преломления Q1 в точке a10 и отражается от нее в направлении, перпендикулярном плоскости H.

Точка А1 лежит на пересечении первого луча с перпендикуляром, восстановленным из точки а10.

Аналогично находим точку В1. Соединив точку А1 с В1, получаем преобразованный вид отрезка АВ.

На рис. 109 все построения выполнены на эпюре. Здесь так же, как и на рис. 108, пространство П1 смещено вправо.

На этом же чертеже в качестве примера показано построение точки С в исходном пространстве, соответствующей точке С1 преобразованного пространства.

119


1 В случае, если расстояние между плоскостями Р1 и R1 окажется меньше расстояния между плоскостями Р и R, будет иметь место деформация сжатия.
Rambler's Top100
Lib4all.Ru © 2010.