§ 21. Гомологическое преобразование
кривых второго порядка

Перспективно-аффинное преобразование кривых второго порядка позволяет преобразовывать их в такие же кривые. Гипербола может быть преобразована в гиперболу, парабола - в параболу, эллипс - в эллипс, в частном случае, в окружность.

Преобразовать гиперболу или параболу в эллипс или окружность путем родственного преобразования не удастся. Поэтому упрощение в решении задач, в которых участвуют параболические или гиперболические поверхности, способом родственных преобразований мы достигаем лишь за счет преобразования их в поверхности вращения, т.е. путем преобразования эллиптических сечений в окружности. Очерки преобразованных поверхностей по-прежнему остаются параболическими или гиперболическими (см. рис. 86, 87).

Естественно, практический интерес представляет такое коллинеарное преобразование, которое дает возможность преобразовать одну кривую в другую, в частности, параболу и гиперболу в окружность. Если нам удастся выполнить такие преобразования, то мы сможем преобразовать параболические и гиперболические поверхности в шаровые. Возможность такого преобразования открывается с использованием свойств гомологии.

Рассмотрим гомологическое преобразование окружности в эллипс, параболу и гиперболу.

Рис. 89 дает наглядное представление о гомологическом преобразовании окружности в пространстве. Эти преобразования соответствуют сечениям конической поверхности, образованной лучами преобразования, плоскостями P₀, P₀₁, P₀₂. Если представить, что центр гомологии S лежит в плоскости окружности, тогда преобразующие лучи будут находиться в плоскости Р, в ней же будут лежать и преобразованные точки кривой, т.е. будет иметь место гомологическое преобразование в совмещенных полях. Остановимся на случае, когда луч преобразования, проходящий через S и центр окружности, перпендикулярен двойной плоскости.

91

В зависимости от характера заданного преобразования, положения точек A₀, А₀₁, А₀₂, при неизменных S и Р, окружность преобразуется в эллипс, параболу или гиперболу (рис. 90-92).

Эллипс с проективной точки зрения можно рассматривать как кривую, полученную в результате преобразования окружности. При этом пространство, в котором находилась окружность, должно быть преобразовано в новое пространство так, чтобы прямые первого пространства, преобразующиеся в бесконечно удаленные прямые второго пространства, не имели общих точек с окружностью. Иными словами, окружность преобразуется в эллипс, если гомологическим преобразованием преобразуется в бесконечно удаленную прямую прямая, не имеющая общих точек с заданной окружностью.

Таких прямых может быть бесчисленное множество. К ним относятся все прямые, параллельные плоскости Р, не пересекающие окружности и не касающиеся ее. Поэтому окружность гомологически может быть преобразована в бесчисленное множество эллипсов.

На рис. 90 показаны различные варианты эллипсов, в которые преобразуется окружность. Чтобы построить эллипс, соответствующий окружности, необходимо найти ряд точек эллипса, соответствующих точкам окружности. В качестве таких точек целесообразнее (в смысле простоты построений) взять точки А и В концов диаметра окружности и С и С₁ точки касания преобразующего луча к окружности.

Преобразованное положение этих точек A₀, B₀, С₀ и С₁₀ определяем с помощью прямых АС и СВ. Через двойные точки этих прямых К и L проводим соответствующие им прямые. Прямую КА₀ проводим произвольно. Она пересекает SC в точке С₀, a SA в A₀. Через С₀ и L проводим прямую, пересекающую SA₀ в точке B₀. Имея точки A₀, С₀, В₀, С₁₀, легко построить эллипс (С₁₀ расположена симметрично С₀ относительно SA₀). Для более точного построения эллипса можно определить любое количество точек.

92

На рис. 90 показано построение D₀ произвольной точки D окружности.

В зависимости от направления прямой КА₀, соответствующей АК, мы будем получать различное положение точек A₀, A₀₁, A₀₂ и т.д., а следовательно, и новое положение других точек эллипса В₀, B₀₁, B₀₂…С₀, С₀₁, С₀₂ и т.д. Эти точки определяют форму и положения бесчисленного множества эллипсов.

На рис. 90 в качестве примера, кроме эллипса А₀В₀С₀С₁₀, показан эллипс A₀₁B₀₁C₀₁C₁₀, большая ось которого А₀₁В₀₁.

Характер гомологических преобразований, при котором окружность преобразовывается в параболу, может быть установлен, исходя из свойств параболы. Известно, что парабола - это кривая второго порядка, касающаяся бесконечно удаленной прямой. Поэтому окружность преобразуется в параболу, если гомологическим преобразованием прямая, касательная к окружности, преобразуется в бесконечно удаленную прямую.

Очевидно, касательными к окружности, которые могут быть преобразованы в бесконечно удаленные прямые, будут две прямые, параллельные плоскости Р и проходящие через точки А и В. Следовательно, окружность может быть преобразована в две параболы; одну при преобразовании точки А в бесконечно удаленную точку A₀; другую при таком же преобразовании точки В.

На рис. 91 показано преобразование окружности в параболы. Построения выполнены только для нахождения точек С₀, В₀ правой параболы и C₀₁, A₀₁ левой параболы, а также произвольной точки D₀ правой параболы.

93

Правило преобразования окружности в гиперболу может быть сформулировано: окружность преобразуется в гиперболу, если гомологическим преобразованием прямая, пересекающая окружность, преобразуется в бесконечно удаленную прямую. Это правило получено нами из свойств гиперболы, которая, как известно, пересекает бесконечно удаленную прямую в двух точках.

Уже говорилось, что прямая может быть преобразована в бесконечно удаленную прямую, если она параллельна плоскости гомологии. Очевидно, можно провести бесчисленное множество прямых, параллельных MN и пересекающих окружность в двух точках. Поэтому заданная окружность может быть преобразована в бесчисленное множество гипербол.

На рис. 92 показано построение только ветви гиперболы, соответствующей дуге DBD₁; вершина гиперболы точка В₀ может быть найдена с помощью преобразовывающего луча SD и прямой LD_0→∞ соответствующей

94

прямой DL, проходящей через точки D и В. LD_0→∞ проводится параллельно SD (это будет соответствовать удалению точки DO в бесконечность). Пересечение LD_0→∞ с прямой SB определяет точку В₀.

Зная положение В₀, легко построить любое количество точек ветви гиперболы.

На чертеже показано построение только точек С₀ и М₀. Нахождение этих точек выполнено обычными построениями, характерными для определения точек, соответствующих заданным при данном гомологическом преобразовании.

Приведенные гомологические преобразования кривых второго порядка можно рассматривать так же, как преобразование эллипса, параболы и гиперболы в окружность, что имеет гораздо большее практическое применение при решении задач. Преобразование эллипса в окружность целесообразно осуществлять путем родственных преобразований (см. рис. 82).

Покажем способ гомологического преобразования параболы и гиперболы в окружность.

Преобразование параболы в окружность. На рис. 93 показаны построения, которые необходимо выполнить для преобразования параболы в окружность.

При заданных плоскости Р и точке S гомологическое преобразование будет полностью определено, если мы укажем еще пару соответствующих точек. Эти точки могут быть найдены из следующих соображений. Мы знаем, что при любом коллинеарном преобразовании касательная k кривой в заданном положении останется касательной к кривой и после преобразования (касание является инвариантом коллинеарного преобразования). При этом точки касания будут взаимно соответствующими точками.

На основании сказанного следует, что касательная к параболе SC, проведенная через центр гомологии, преобразуется в касательную к окружности SC₀.

Для нахождения точки касания С₀ через С проводим две хорды параболы, соединяющие концы ее диаметра, СВ и СА. Так как точка А удалена в бесконечность, то СА будет параллельна ВА. Отрезок, определяемый двойными точками К и L, принимаем за диаметр вспомогательной окружности. Эта окружность пересекает прямую SC в точке C₀. Через C₀ проводим хорду C₀L, соответствующую хорде CL. Пересечение С₀L с SB определяет положение точки В₀.

Имея точки С₀ и В₀, принадлежащие окружности, и зная, что центр ее находится на прямой SB₀, легко построить окружность, в которую преобразовывается парабола.

95

Рис. 93	Рис. 94

Преобразование гиперболы в окружность. Для того чтобы преобразовать гиперболу в окружность (рис. 94), целесообразно центр гомологии поместить в центр гиперболы (точка пересечения асимптот). В этом случае асимптоты будут являться касательными лучами преобразования.

Чтобы упростить дальнейшие построения, прямую MN лучше взять касательной к вершине гиперболы в точке В. Тогда точка В₀ окружности и соответствующая ей вершина гиперболы В совпадут. Центр окружности должен лежать на прямой BS, а окружность касаться асимптоты.

Поэтому для нахождения центра окружности О₀ достаточно провести биссектрису FE угла SFB до ее пересечения с SB. Из O₀ радиусом О₀В₀ проводим окружность, в которую преобразовывается гипербола.

96