§ 17. Основные понятия

В предыдущих главах были рассмотрены различные способы преобразования ортогональных проекций.

Каждому из них соответствует определенный круг задач, в применении к которым он дает наилучшие результаты в смысле простоты и точности решения.

В основном, это задачи, в которых участвуют геометрические тела с прямолинейными образующими или ограниченные поверхностями вращения.

Наряду с этим имеется большое количество разнообразных задач, в которых приходится иметь дело с геометрическими телами, ограниченными нелинейчатыми поверхностями решение которых способами, изложенными ранее, является слишком громоздким, а, подчас, недостаточно точным.

Так, например, решая задачу по определению линии пересечения двух тел, ограниченных произвольными (нелинейчатыми) поверхностями, мы вынуждены в качестве вспомогательных линий строить лекальные кривые.

Было бы желательно избежать их построения и перейти к решению задачи с помощью линейки и циркуля.

К сожалению, ни классические способы, ни способ вспомогательного проецирования не могут обеспечить возможность такого перехода.

Последнее обстоятельство заставило искать дополнительные способы.

Положительные результаты были достигнуты благодаря достижениям проективной геометрии.

Использование для решений задач проективных соответствий, и в частности коллинеарных, положило начало новому способу начертательной геометрии, который может быть назван способом проективных преобразований.

72

Диссертации О.Ф. Прудаевой, Л.Н. Лихачева, В.В. Рассохина, И.С. Джапаридзе, Ю.А. Харита, Н.В. Белова, Д.М. Борисова и др. посвящены использованию коллинеарных соответствий для нужд начертательной геометрии, в них дано теоретическое обоснование новому способу.

Способ проективных преобразований исходит из условия, что рассматриваемые фигуры не являются жесткими, а могут коллинеарно преобразовываться - деформироваться - вместе с трехмерным пространством, в котором они находятся.

Свойства коллинеарного соответствия дают возможность преобразовывать произвольные линейчатые поверхности в проецирующие поверхности, а неудобные для решения задач нелинейчатые поверхности второго порядка в более простые и удобные для решения поверхности вращения, в частности, в шаровые.

При этом между преобразованной фигурой и ее оригиналом сохраняется определенное соответствие, обусловленное характером принятых коллинеарных преобразований.

Наличие такого соответствия позволяет рекомендовать новый способ для упрощения решения задач.

Сущность способа состоит в том, что мы заранее задаем свойства и вид преобразованной фигуры, которые лучше отвечают требованиям поставленной задачи. Затем определяется характер необходимых для этого преобразований.

Далее решение выполняется на преобразованной фигуре и полученные результаты обратным построением возвращаем на исходные проекции.

Ввиду того что для освоения способа пространственных преобразований необходимы знания свойств проективных соответствий, ниже приведено краткое изложение этих свойств¹.

73