§ 12. Прямоугольное проецирование
на две плоскости, пересекающиеся
не под прямым углом

Идея прямоугольного проецирования на две плоскости, пересекающиеся не под прямым углом, не является новой, она была высказана еще Г. Монжем [21]. Но говоря о принципиальной возможности такого проецирования, Монж отрицал целесообразность его практического использования, ссылаясь на то, что если угол между плоскостями "будет очень тупым, то угол, образуемый перпендикулярными плоскостям проекций прямыми, окажется очень острым; на практике же маленькие ошибки могут вызвать очень большую неточность в определении положения точки". С этим утверждением нельзя не согласиться, но в то же время для решения некоторых задач бывает целесообразно спроецировать пространственную фигуру прямоугольно на плоскость, выгодно расположенную по отношению к фигуре, но наклонную к одной из координатных плоскостей. Прямоугольное проецирование в косоугольной системе плоскостей проекций является частным случаем способа вспомогательного проецирования, изложенного в § 12 данной главы (способ проф. С.М. Колотова).

Наиболее подробно способ прямоугольного проецирования рассмотрен в работах Р.С. Бриллинга, В.П. Левина и И.Г. Виницкого.

Сущность способа прямоугольного проецирования в косоугольной системе плоскостей может быть понятна из рассмотрения рис. 42, на котором показано построение вспомогательной проекции точки А на плоскость Р.

Плоскость Р, наклонную к H, назовем вспомогательной плоскостью проекций; след Рh - вспомогательной осью; прямую ААp - вспомогательно-проецирующей прямой; Ар - вспомогательной проекцией точки А.

47

Рис. 42 Рис. 43
Рис. 42 Рис. 43

Из рассмотрения рис. 42 можно сделать следующие выводы:

  1. Основная и вспомогательная проекция точки располагаются на одном перпендикуляре к вспомогательной оси.
  2. Расстояние вспомогательной проекции точки от вспомогательной оси проекции равно умноженному на cos α расстоянию от основной плоскости проекции точки скрещивания (L) прямой ААp с Ph.

Ар0 l = l'lxcosα.

Установленная зависимость дает возможность сравнительно просто определить прямоугольную вспомогательную проекцию точки на плоскость общего положения.

Если даны точки А и плоскость Р, определяемая следом Ph и углом наклона β к горизонтальной плоскости проекции (рис. 43), то для построения первичной и вторичной вспомогательных проекций точки А необходимо через горизонтальную проекцию а провести прямую, перпендикулярную Ph, на этой прямой отложить от точки пересечения ее со следом Ph отрезок p0 = l'lxcosα. Величина p0- может быть определена графически с помощью прямоугольного треугольника. Один из катетов треугольника совпадает с прямой al. Величина острого угла при вершине a α = (90º - β). Прямая, проведенная через точку а под заданным углом α к al, пересекает Ph в точке 1.

В полученном треугольнике a1l катет l1, совпадающий с Ph, равен разности аппликат AA-ZL.

Для нахождения Ар0 на гипотенузе a1 откладываем отрезок 1 2, равный величине ZL(l'lx). Через полученную точку 2 проводим прямую Р0 параллельно Ph до пересечения ее с прямой al.

48

Рис. 44
Рис. 44

Треугольник a1l служит основанием для графического определения отрезка lAp0, является "ключом" к построению вспомогательных проекций любой совокупности точек1.

Ниже приведены решения типовых задач начертательной геометрии способом прямоугольного проецирования на вспомогательную плоскость.

Задача 1. Определить расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и CD (рис. 44).

Вспомогательную плоскость выбираем перпендикулярной прямой АВ. Направление проецирования принимаем параллельным этой прямой. Тогда горизонтальный след Ph вспомогательной плоскости будет перпендикулярен ab. Строим вспомогательный треугольник a1l, у которого катет l1 совпадает с Ph и по величине равен разности аппликат точек А и L.

Для определения проекций Аp0 и Bp0 на направлении гипотенузы a1 откладываем отрезок 1 2, равный l'lх. Через точку 2 проводим прямую 2Ap0Bp0 параллельно Ph.

49

Рис. 45
Рис. 45

Построение вспомогательной проекции прямой CD ясно из чертежа.

Через точки С и D проводим прямые, параллельные горизонтальной проекции направления проецирования до пересечения с Рh в точках l1 и l2, и по l1 и l2 определяем l1x, l'1 и l2x, l'2; величины l1xl'1 и l2xl'2 откладываем по направлению гипотенузы от точки ее пересечения со следом Ph1.

Из полученных точек 3 и 4 проводим прямые, параллельные Ph до пересечения их с соответствующими горизонтальными проекциями вспомогательно-проецирующих лучей.

Величина перпендикуляра, опущенного из точки Ар0 Bр0 на прямую Cр0, Dр0, укажет искомое расстояние.

Задача 2. Определить угол между плоскостями Q(BD × AB) и S(BD × CB) (рис. 45).

Решение задачи аналогично предыдущей.

Проецируем линию пересечения плоскостей BD на вспомогательную плоскость Р, перпендикулярную BD.

Направление проецирования совпадает с направлением прямой BD.

Находим вспомогательные проекции прямых, проходящих через точки А, В и С. Угол Ар0Bр0Cр0, равный α, будет искомым.

50


1 Треугольник a1l представляет не что иное, как хорошо известный треугольник, применяемый для определения натуральной длины отрезка и угла его наклона к плоскости проекций.
1 Направление, в котором следует откладывать величины этих отрезков, зависит от знака; положительное значение (l2xl'2) откладывается на продолжении гипотенузы; отрицательное (l1xl'1)- по направлению к вершине а
Rambler's Top100
Lib4all.Ru © 2010.