1.1.3. Несущая способность, усилия и напряжения, возникающие в канатах и прядях

У спиральных канатов или прядей, загруженных растягивающей силой, в проволоках появляются напряжения, действительные величины которых определяются не только растяжением, но и изгибом, кручением, поперечным сжатием, вытяжкой, свивкой и другими факторами. Влияние перечисленных факторов на напряженное состояние различно и в отдельных случаях пренебрежимо мало, в целом напряжения в канатах определяются через силу S, действующую на канат, и численно равны:

19

σ_z =

S

Ad

(1.3)

Здесь A_d - поперечное сечение каната, равное сумме площадей проволочек диаметром d_i

A_d =

π

4

·

n

∑

i = 1

d_i²

(1.4)

На отдельную проволоку, расположенную в ряду i, действует часть внешней силы S_i, направленной вдоль оси каната, а также соответствующая часть крутящей силы U_i, от крутящего момента. Внешние силы S_i и U_i уравновешиваются внутренними, продольным F_i и поперечным Q_i усилиями. На рис. 1.14 приведён многоугольник сил, действующих на проволоку.

Из условия равновесия получим:

F_i =

Si - Q · Sin αi

Cos αi

(1.5)

U_i = F_i · Sin α_i - Q · Cos α_i

(1.6)

Здесь α_i, - угол свивки каната. Значение поперечной силы Q_i в уравнениях (1.5) и (1.6) не известно. Её величину можно определить из условий изгиба и кручения проволок. Значения Q_i зависят от радиусов свивки r_i.

Q_i =

Sin αi

ri

(M_u · Cos α_i - M_kp · Sin α_i)

(1.7)

20

Величины изгибающих (М_u) и крутящих (М_кр) моментов при действии растягивающих сил очень малы, а следовательно, и величина поперечной силы также может быть пренебрежимо мала и уравнения (1.5), (1.6) будут иметь вид

F_i =

Si

Cos αi

(1.8)

Для крутящей силы соответственно

U_i = F_i · Sin α_i

(1.9)

или

U_i = S_i · tg α_i

(1.10)

Крутящий момент относительно оси каната или пряди в проволоках положения i

M_i = F_i · r_i · Sin α_i

(1.11)

M_i = S_i · r_i · tg α_i

(1.12)

Представленные зависимости получены рядом авторов [73], [78]. Внешняя сила S, действующая на канат, будет равна сумме компонентов составляющих

S =

n

∑

i = 0

Z_i · S_i =

n

∑

i = 0

Z_i · F_i · Cos α_i

(1.13)

где п - число рядов проволок в канате или пряди, для сердечника i = 0;

Z_i - число проволок в ряду.

Под действием растягивающей силы S канат на длине свивки lудлинится на величину Δl и величина усилия в проволоке F_i может быть выражена следующим образом

F_i =

Δli

li

· E_i · A_i

(1.14)

Относительное удлинение проволоки

ε_i =

Δli

li

(1.15)

Длина проволоки

l_i =

l

Cos αi

(1.16)

На рис. 1.15 показано удлинение элемента каната длиной l под действием внешней нагрузки. Удлинение проволоки Δl_i

Δl_i = (Δl - ΔU_i · tg α) · Cos α_i

(1.17)

или

Δl_i = Δl · Cos α_i - ΔU_i · Sin α_i

(1.18)

21

После преобразования выражений с учётом коэффициента поперечной деформации μ получим

Δl_i + Δl_i · μ_i · Sin²α_i

(1.19)

Отсюда имеем

Δl_i =

Δl · Cos αi

1 + μi · Sin2αi

(1.20)

С учётом (1.13)и(1.15) растягивающее усилие в проволоке l равно

F_i =

Δl · Cos2αi

l(1 + μi · Sin2αi)

· E_i · A_i

(1.21)

или

S_i =

Δl · Cos3αi

l(1 + μi · Sin2αi)

· E_i · A_i

(1.22)

Подставляя значения (1.21)в(1.13), получим

S =

Δl

l

n

∑

i = 0

(

Zi · Cos3αi

1 + μi · Sin2αi

· E_i · A_i)

(1.23)

Усилие в отдельной проволоке пряди или однопрядного каната определяется по формуле

F_k =

Cos2αk 1 + μk · Sin2αk · Ek · Ak

n ∑ i = 0 ( Zi · Cos3αi 1 + μi · Sin2αi · Ei · Ai)

· S

(1.24)

22

Как видно из формулы (1.23), величина усилия в проволоке зависит от её жёсткостных характеристик и угла свивки данного ряда. Например, для проволоки одинакового диаметра и угла свивки при фиксированных значениях отношения шага свивки к диаметру каната, равному 10 (k = l / D = 10), и соответствующем угле свивки α = 17.7° усилие в проволоке возрастает на 5% по сравнению с продольной силой, приходящейся на эту проволоку.

Относительная деформация каната

ε =

S

n ∑ I = 0 ( Zi · Cos3αi 1 + μi · Sin2αi · Ei · Ai)

(1.25)

Исходя из вышеизложенного, напряжения в различных рядах проволок каната различны, зависят от их положения и угла свивки и отличаются от величин, полученных по формуле (1.3). Согласно [44] расчётное усилие растяжения каната п в расчётах на прочность должно удовлетворять неравенству

N

Am

 ≤ R_u

(1.26)

где R_u - расчётное сопротивление каната. Расчётное сопротивление каната определяется по формуле

R_u =

γc · γk

γu · γm · γn

· R_un

(1.27)

• где γ_c - коэффициент общих условий работы канатного элемента;
• γ_k - коэффициент условий работы, учитывающий влияние на прочность каната местных концентраторов напряжений;
• γ_u = 1,3 - коэффициент надёжности для элементов конструкций, расчитываемых по временному сопротивлению разрыву;
• γ_m = 1.2 - коэффициент надёжности стальных канатов по материалу;
• γ_n - коэффициент надёжности по назначению, учитывающий степень ответственности и капитальности сооружения;
• R_un - нормативное сопротивление каната, определяемое по его разрывному усилию или в соответствии с пунктом 3 [44].

Полученное расчетное сопротивление не принимать более 0.7 R_un

Дополнительные напряжения, отмеченные ранее и возникающие в процессе загружения проволок статической нагрузкой, в расчёте не учитываются. Эти напряжения могут быть учтены при расчёте выносливости при загружении переменной нагрузкой.

23