3.2.2.Последовательность нелинейного расчета предварительно напряженных стержневых и Байтовых систем

Как отмечалось ранее, указанные выше системы являются нелинейными, то есть при приложении нагрузки зависимости между внешними силовыми факторами, внутренними усилиями и перемещениями не являются линейными, и их нахождение связано с определенными трудностями. Для расчета таких систем на практике применяются методы приращения внешней нагрузки (метод Эйлера), итеративные (метод Ньютона-Рафсона) и энергетические методы.

В этих случаях нагрузка, действующая на конструкцию, разбивается на ряд ступеней, на каждой из которых проводится линеаризация расчетов с учетом имевшегося ранее загружения, деформированного состояния и параметров матрицы жесткости.

200

Проиллюстрируем метод Ньютона-Рафсона на простом примере стержневых элементов (рис. 3.16).

Под действием силы Р в стержневой системе возникает перемещение w, первое приближение величины которого может быть определено из решения линейного уравнения

К1 · w1 = P

(3.72)

Рис. 3.16. Иллюстрация итерационного процесса а - схема загружения; б - схема равновесия узла.
Рис. 3.16. Иллюстрация итерационного процесса а - схема загружения; б - схема равновесия узла.

Зная величину перемещения, можно найти удлинения стержней и усилия в элементах S/. Указанные усилия и внешняя нагрузка не удовлетворяют условию равновесия узла (рис. 3.16, б) в деформированном положении. Такое равновесие возможно только для недеформированного состояния, поэтому для деформированной конструкции выделяют силы невязки, величина которых на первой ступени итерации

Δr1 = 3 · S1 · sin α1 - P

(3.73)

На втором шаге итерации, учитывая изменения геометрических параметров, полученные на первом шаге итерации, находят новое значение матрицы жесткости К2 и снова решают линейное уравнение

K2 · w2 = Δr1

(3.74)

откуда определяют перемещение w2.

Процесс итерации продолжается до тех пор, пока не будет выполнено требуемое условие точности расчета. Графическая интерпретация метода Ньютона-Рафсона иллюстрируется графиком рис. 3.17.

201

Рис. 3.17. Графическая интерпретация метода Ньютона-Рафсона
Рис. 3.17. Графическая интерпретация метода Ньютона-Рафсона

Представленный здесь нелинейный итерационный процесс в сложных конструкциях (например, плоские вантовые сети) и при больших величинах внешней нагрузки может очень медленно сходиться, а в отдельных случаях вообще расходиться. Для ускорения сходимости итерационного процесса используется метод корректировки энергии деформации стержневой системы, включающий итерацию по Ньютону-Рафсону [84], [103], суть которого заключается в корректировке вектора перемещений d в процессе итерации путем введения скалярного параметра с:

d = c · d(k)

(3.75)

Метод корректировки энергии деформации иллюстрируется графиком (рис. 3.18).

Скалярный параметр с равен

c =
A
U

(3.76)

где А - работа внешних сил;

U - внутренняя энергия деформации.

Рис. 3.18. Корректировка энергии деформации при итерационном процессе
Рис. 3.18. Корректировка энергии деформации при итерационном процессе

202

Он определяется из условия

Uk(0) + Uk(1) + Uk(2) = Ak

(3.77)

где Uk(0) =
1
2
· dT · Kk(0) · dk =
1
2
· c2 · dk · Kk(0) · dk = c2 · Uk(0);
Uk(1) =
1
6
· dkT · Kk(1) · dk =
1
6
· c3 · dkT · Kk(1) · dk = c3 · Uk(1);
Uk(2) =
1
12
· dkT · Kk(1) · dk =
1
12
· c4 · dkT · Kk(2) · dk = c4 · Ur(2);
Ak = Ak-1 + pm · (c · dk - dk-1) = Ak-1 + c · pm · dk - pm · dk-1;
pm =
pk-1 + pk
2
.

Параметр с является наименьшим положительным корнем уравнения.

c4 · Uk(2) + c3 · Uk(1) + c2 · U(0) - c · Bk,1 - (Ak-1 - Bk,2) = 0

(3.78)

здесь Bk,1 = pm · k,
Bk,2 = pm · dk-1
.

Для первой ступени загружения (к = 1) уравнение (3.78) упрощается и преобразуется к виду

с3 · U1(2) + c2 · U1(1) + c · Ul(0) - В1,1 = 0.

(3.79)

при значениях

B1,1 =
p1 · d1
2
; B1,2 = 0; A0 = 0.

Усилия в стержнях узлов S на ступени загружения определяются по формуле

S = S(0)+ S(1)+ S(2) = (K(0) +
1
2
· K(1) +
1
3
· K(2)) · d

(3.80)

Здесь S(0), S(1), S(2) - соответственно линейная и нелинейные составляющие усилий.

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока величина невязки в уравнении равновесия внешних и внутренних сил не будет превышать требуемых условий точности расчета. И далее производится переход на следующую, более высокую ступень загружения, и итерационный цикл начинается вновь.

Завершение итерационного процесса происходит после достижения внешней нагрузкой расчетной величины, и невязка Δri, из условия равновесия усилий на последней ступени загружения не будет превышать принятых параметров точности расчета.

203

Rambler's Top100
Lib4all.Ru © 2010.