Предварительно напряженные комбинированные стержневые и вантовые конструкции

188 :: 189 :: 190 :: 191 :: 192 :: 193 :: 194 :: 195 :: 196 :: 197 :: 198 :: 199 :: 200 :: Содержание

3.2. Расчет гибких нитей и предварительно напряженных стержневых конструкций методом конечных элементов

Плоские и пространственные предварительно напряженные конструкции, однопоясные и двухпоясные висячие системы, плоские и объемные пространственные сети могут быть рассчитаны при едином подходе методом конечных элементов. Начало развития этого метода было заложено в шестидесятые и семидесятые годы, получило в последствии широкое применение при расчете различных конструкций.

Использование этого метода позволяет производить как статические, так и динамические расчеты, применяя единый алгоритм подготовки и ввода исходных данных для конструкций различного вида и уровня сложности.

Существенный вклад в развитие метода конечных элементов внесли как отечественные ученые [13], [15], [31], так и зарубежные специалисты, позволившие разработать целый ряд универсальных программ для расчета на ЭВМ. К ним относятся ЛИРА, ГАММА, Mikrofe и другие отечественных авторов, а также NASTRAN, OKABUS, ANSYS, FLOWERS и другие зарубежных разработчиков.

Несмотря на очевидные преимущества, применение метода конечных элементов имеет и определенные недостатки. Использование метода упрощается в тех случаях, когда

Элементы вантовой системы прямолинейны.
Величина усилия предварительного напряжения известна заранее.

С другой стороны, при проведении расчетов могут возникнуть некоторые трудности, которые преодолеваются с помощью специальных приемов.

К таким проблемам относятся:

- численная и практическая реализация предварительного напряжения;
- учет влияния жесткости опорных контуров на напряженное состояние канатных элементов;
- использование криволинейных элементов;
- учет расчетов на устойчивость опорных конструкций.

3.2.1. Теоретические основы метода конечных элементов для расчета предварительно напряженных стержневых и вантовых систем

В расчете таких конструкций методом конечных элементов принимаются следующие предпосылки:

- канатные элементы аппроксимируются прямолинейными стержнями постоянного сечения;

188

- канатные элементы передают только нормальную растягивающую силу;
- опорные элементы работают на сжатие с изгибом;
- внешняя нагрузка прикладывается в узлы конструкции;
- зависимость между напряжениями и деформациями принимается линейной.

Эти предпосылки значительно упрощают расчет и позволяют рассматривать канатные конструкции как стержневые системы. При этом необходимо учитывать, что вантовые конструкции отличаются от стержневых тем, что первые из них могут быть многократно статически неопределимыми и при определенных условиях геометрически изменяемыми.

Рис. 3.11. Геометрическая изменяемость отдельных систем:
а - система геометрически изменяема; б, в - системы геометрически неизменяемые.

На рис. 3.11, а показана простая канатная система, являющаяся геометрически изменяемой. Для схем рис. 3.11,6 и 3.11,в геометрическая неизменяемость обеспечена благодаря наличию достаточного количества стержней (рис. 3.11,6) или наличию внешней нагрузки.

Такие системы являются нелинейными, для их решения используются различные итеративные методы. Наиболее распространенными из них являются методы Эйлера, Ньютона-Рафсона и другие.

3.2.1.1. Матрица жесткости шарнирно-опертого стержневого и канатного элементов

При расчете вантовых и предварительно напряженных комбинированных конструкций производится учет деформируемого состояния при составлении уравнений равновесия. Рассмотрим элемент, деформирующийся в плоскости под действием узловых сил. Из геометрических соотношений, принимая начальную длину l = 1, можно получить (рис. 3.12)

189

Рис. 3.12. Деформированное состояние стержня

1 + Δl = √(1 + Δx)² + Δz² = √1 + 2 · Δx + Δx² + Δz²

(3.44)

Раскладывая в степенной ряд подкоренное выражение (3.44),получим:

ε = u'_x +

· (u'_x)² +

· (w'_x)²
ε; =

Δl

, u'_x =

Δx

, w'_x =

Δ_z

(3.45 а)

Для деформирования стержня в пространстве выражение (3.45 а) имеет вид:

ε = u'_x +

· (u'_x)² +

· (v'_x)² +

· (w'_x)²

(3.45 б)

В уравнениях (3.45 а) и (3.45 б) все слагаемые кроме первого являются нелинейными составляющими, зависят от деформированного состояния. Эти выражения применены в дальнейшем для определения энергии деформации стержневой системы, с помощью которой, используя первую теорему Кастелиано [103], находят матрицу жесткости для рассчитываемой конструкции.

Выражение для энергии деформации U имеет вид:

U =

∫

σ · ε · dA · dx =

∫

E · σ² · dA · dx

или

U =

∫

E · A · ε² · dx

(3.46)

при A = const,

где А, Е - площадь сечения и модуль упругости стержня (E = const); σ - напряжение в стержне.

Подставляя значение деформаций (3.45 б) в (3.46), получим

U =

∫

E · A · [(u`_x +

· (u'_x)² +

· (v'_x)² +

· (w'_x)²]² · dx

(3.47)

или

190

U = U₍₀₎ + U₍₁₎ + U₍₂₎

(3.48)

где

U₍₀₎ =

E · A

∫

(u'_x)₂ · dx

(3.49)

U₍₁₎ =

E · A

∫

[(u'_x)³ + (u'_x) · (v'_x)² + (u') · (w')² ] · dx

(3.50)

U₍₂₎ =

E · A

[(

· (u')² · (v')² + (u')² · (w')² ) +

· { (u')⁴ + (v')⁴ + (w')⁴} ] · dx

(3.51)

Составляющие сил, приложенных к стержню S_i, по направлениям действующих деформаций d_i могут быть получены с учетом теоремы Кастелиано из выражения

S_i =

δU

δd

(3.52)

Коэффициенты матрицы жесткости выглядят следующим образом

k_ij =

δS_i

δd_i

(3.53)

Матрица жесткости элементов для расчетов с учетом геометрической нелинейности имеет вид

К = К₍₀₎+К₍₁₎+К₍₂₎

(3.54)

где К₍₀₎ - линейная составляющая матрицы жесткости;

K₍₁₎, К₍₂₎ - нелинейные добавки, учитывающие деформированное состояние стержневой системы при загружении, причем для К₍₁₎ входящие параметры перемещения в первой степени и для К₍₂₎ - во второй.

Соотношение между усилиями в узлах и перемещениями узлов для любого шарнирно-опертого элемента на ступени загружения q (рис. 3.13) в каждой системе координат (х, у, z) имеет в матричной форме следующий вид:

К · δ = S

(3.55)

где δ = {d₁d₂d₃d₄d₅d₆} - вектор перемещения узлов в локальной системе координат.

s = {S₁S₂S₃S₄S₅S₆} - вектор усилий в узлах.

К = К₍₀₎+К₍₁₎+К₍₂₎ - тангенциальная матрица жесткости стержня в локальной системе координат.

Составляющие тангенциальной матрицы жесткости шарнирно опертого элемента имеют следующий вид [50], [84]:

191

Рис. 3.13. Шарнирно опертый стержневой элемент: 1,2,3... - направления перемещений

K₍₀₎ =

E · A

K₁₁

K₄₁

K₁₁

K₄₄

(3.56)

где К₁₁ = К₄₄ = -K₄₁ = l

K₍₁₎ =

E · A

l²

K₁₁	K₁₂	K₁₃	K₁₄	K₁₅	K₁₆
K₂₁	K₂₂	0	K₂₄	K₂₅	0
K₃₁	0	K₃₃	K₃₄	0	K₃₆
K₄₁	K₄₂	K₄₃	K₄₄	K₄₅	K₄₆
K₅₁	K₅₂	0	K₅₄	K₅₅	0
K₆₁	0	K₆₃	K₆₄	0	K₆₆

(3.56)

где	K₁₁ = K₄₄ = -K₄₁ = 3 · (d₄ - d₁) K₂₁ = K₅₄ = -K₅₁ = -K₄₂ = d₅ - d₂ K₃₁ = K₆₄ = -K₆₁ = -K₄₃ = -K₄₃ = d₆ - d₃ , K₂₂ = K₅₅ = -K₅₂ = d₄ - d₁ K₃₃ = K₆₆ = -K₆₃ = d₄ - d₁

192

K₍₂₎ =

E ·A

l₃

K₁₁	K₁₂	K₁₃	K₁₄	K₁₅	K₁₆
K₂₁	K₂₂	K₂₃	K₂₄	K₂₅	K₂₆
K₃₁	K₃₂	K₃₃	K₃₄	K₃₅	K₃₆
K₄₁	K₄₂	K₄₃	K₄₄	K₄₅	K₄₆
K₅₁	K₅₂	K₅₃	K₅₄	K₅₅	K₅₆
K₆₁	K₆₂	K₆₃	K₆₄	K₆₅	K₆₆

(3.58)

где

K₁₁ = K₄₄ = -K₄₁ =

· (d₄ - d₁) +

· (d₅ - d₂) +

· (d₆ - d₃)
K₂₁ = K₅₄ = -K₅₁ = -K₄₂ = (d₄ - d₁) · (d₅ - d₂)
K₃₁ = K₆₄ = -K₆₁ = -K₄₃ = (d₄ - d₁) · (d₆ - d₃)
K₂₂ = K₅₅ = -K₅₂ =

· (d₄ - d₁) +

· (d₅ - d₂) +

· (d₆ - d₃)
K₂₃ = K₅₆ = -K₂₆ = -K₅₃ = (d₅ - d₂)· (d₆ - d₃)
K₃₃ = K₆₆ = -K₆₃ =

· (d₄ - d₁) +

· (d₅ - d₂) +

· (d₆ - d₃)

Зависимость между узловой нагрузкой и перемещениями узлов в глобальной системе координат (X,Y,Z) имеет вид

K · δ = S

(3.58)

где	δ = {d₁d₂d₃d₄d₅d₆} S = {S₁S₂S₃S₄S₅S₆} K = K₍₀₎ + K₍₁₎ + K₍₂₎

Переход от параметров матрицы жесткости, перемещений и усилий в локальной системе координат к соответствующим значениям в глобальной системе координат (рис. 3.14) осуществляется следующим образом

К = Т · К · Т^T

(3.60)

d = T · d

(3.61)

d = T^T · d

(3.62)

S = T^T · S

(3.63)

S = T · S

(3.64)

Здесь Т - матрица направляющих косинусов;

Т^T - транспонированная матрица Т;

d, S - соответственно перемещения узлов и усилия в элементах в глобальной системе координат;

d,S - перемещения узлов и усилия в элементах в локальной системе координат.

Матрица направляющих косинусов может быть записана в виде:

193

T =

C_x	C_y	C_z	0	0	0
-C_x · C_ly	^l₁/_l	-C_z · C_ly	0	0	0
-C_lz	0	C_lx	0	0	0
0	0	0	C_x	C_y	C_z
0	0	0	-C_x · C_ly	^l₁/_l	-C_z · C_ly
0	0	0	-C_lz	0	C_lx

(3.65)

где C_y =
l_x
l
, l_x = X₂ - X₁, C_lx =
l_x
l₁
,

C_y =
l_y
l
, l_y = Y₂ - Y₁, C_ly =
l_y
l₁
,

C_z =
l_z
l
, l_z = Z₂ - Z₁, C_lz =
l_z
l₁
.

l = √l_x² + l_y² + l_z² , l₁ = √l_x² + l_z².

Рис. 3.14. Переход от локальной к глобальной системам координат

3.2.1.2. Матрица жесткости изгибаемого стержневого элемента

Для изгибаемого элемента относительная деформация под нагрузкой может быть представлена в виде

ε = u' +

· (u')² +

· (w')² + z · w'' + y · v''

(3.66)

где z, у - соответственно координаты точки в сечении стержня относительно осей у и z.

Подставляя значение (3.66) в выражение для энергии деформации можно получить матрицу жесткости (3.4) для изгибаемого элемента по направлениям перемещений согласно рис. 3.15.

194

Рис. 3.15. Изгибаемый элемент в пространстве

K₀ =

K₁₁	0	0	0	0	0	K₁₇	0	0	0	0	0
0	K₂₂	0	0	0	K₂₆	0	K₂₈	0	0	0	K_2,12
0	0	K₃₃	0	K₃₅	0	0	0	K₃₉	0	K_3,11	0
0	0	0	K₄₄	0	0	0	0	0	K_4,10	0	0
0	0	K₅₃	0	K₅₅	0	0	0	K₅₉	0	K_5,11	0
0	K₆₂	0	0	0	K₆₆	0	K₆₈	0	0	0	K_6,12
K₇₁	0	0	0	0	0	K₇₇	0	0	0	0	0
0	K₈₂	0	0	0	K₈₆	0	K₈₈	0	0	0	K_8,12
0	0	K₉₃	0	K₉₅	0	0	0	K₉₉	0	K_9,11	0
0	0	0	K_10,4	0	0	0	0	0	K_10,10	0	0
0	0	K_11,3	0	K_11,5	0	0	0	K_11,9	0	K_11,11	0
0	K_12,2	0	0	0	K_12,6	0	K_12,8	0	0	0	K_12,12

(3.67)

где K₁₁ = K₇₇ = -K₇₁ =
E · A
l
; K₂₂ = K₈₈ = -K₈₂ = 12 ·
E · I_z
l₃
;

K₂₆ = K_3,11 = -K_8,12 = 6 ·
E · I_z
l₂
; K₃₃ = K₉₉ = -K₉₃ = 12 ·
E · I_y
l₃
;

K₃₅ = K_3,11 = -K_9,11 = -6 ·
E · I_y
l₂
; K₄₄ = K_10,10 = K_10,4 =
G ·J_T
l
;

K₅₅ = K_11,11 = 4 ·
E · I_y
l
; K_5,11 = 2 ·
E · I_y
l
;

K₆₆ = K_12,12 = 4 ·
E · I_y
l
; K_6,12 = 2 ·
E · I_y
l
.

195

Первая нелинейная компонента

K₁ =

K₁₁	K₁₂	K₁₃	K₁₅	K₁₆	K₁₇	K₁₈	K₁₉	K_1,11	K_1,12
K₂₁	K₂₂	0	0	K₂₆	K₂₇	K₂₈	0	0	K_2,12
K₃₁	0	K₃₃	K₃₅	0	K₃₇	0	K₃₉	K_3,11	0
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
K₅₁	0	K₅₃	K₅₅	0	K₅₇	0	K₅₉	K_5,11	0
K₆₂	K₆₂	0	0	K₆₆	K₆₇	K₆₈	0	0	K_6,12
K₇₁	K₇₂	K₇₃	K₇₅	K₇₆	K₇₇	K₇₈	0	0	K_7,12
K₈₁	K₈₂	0	0	K₈₆	K₈₇	K₈₈	0	0	K_8,12
K₉₁	0	K₉₃	K₉₅	0	K₉₇	0	K₉₉	K_9,11	0
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
K_11,1	0	K_11,3	K_11,5	0	K_11,7	0	K_11,9	K_11,11	0
K_12,1	K_12,2	0	0	K_12,6	K_11,7	K_12,8	0	0	K_12,12

(3.68)

где K₁₁ = K₇₇ = -K₇₁ = 3 · (d₇ - d₁);

K₂₁ = -K₈₁ = -K₇₂ = K₈₇ =
6
5
· (d₈ - d₂) -
l
10
· (d₆ + d₁₂);

K₃₁ = -K₉₁ = -K₇₃ = K₉₇ =
6
5
· (d₉ - d₃) -
l
10
· (d₅ + d₁₁);

K₅₁ = -K₇₅ = -
l
10
· (d₉ - d₃) -
l²
30
· (4 · d₅ - d₁₁);

K₆₁ = -K₇₆ =
l
10
· (d₈ - d₂) -
l²
30
· (4 · d₆ - d₁₂);

K_11,1 = -K_11,7 = -
l
10
· (d₉ - d₃) -
l²
30
· (4 · d₁₁ - d₅);

K_12,1 = -K_12,7 =
l
10
· (d₈ - d₂) -
l²
30
· (4 · d₁₂ - d₆);

K₂₂ = K₃₃ = K₈₈ = K₉₉ = -K₈₂ = -K₉₃ =
6
5
· (d₇ - d₁);

K₆₂ = K_12,2 = -K₅₃ = -K_11,3 =
l
10
· (d₇ - d₁);

K₉₅ = -K₈₆ = -K_12,8 = K_11,9 =
l
10
· (d₇ - d₁);

K₅₅ = K₆₆ = K_11,11 = K_12,12 =
2 · l²
15
· (d₇ - d₁);

K_11,5 = K_12,5 =
l²
30
· (d⁷ - d¹).

Вторая нелинейная компонента

196

K₂ =

K₁₁

K₁₂

K₁₃

K₁₅

K₁₆

K₁₇

K₁₈

K₁₉

K_1,11

K_1,12

K₂₁

K₂₂

K₂₃

K₂₅

K₂₆

K₂₇

K₂₈

K₂₉

K_2,11

K_2,12

K₃₁

K₃₂

K₃₃

K₃₅

K₃₆

K₃₇

K₃₈

K₃₉

K_3,11

K_3,12

K₅₁

K₅₂

K₅₃

K₅₅

K₅₆

K₅₇

K₅₈

K₅₉

K_5,11

K_5,12

K₆₁

K₆₂

K₆₃

K₆₅

K₆₆

K₆₇

K₆₈

K₆₉

K_6,11

K_6,12

K₇₁

K₇₂

K₇₃

K₇₅

K₇₆

K₇₇

K₇₈

K₇₉

K_7,11

K_7,12

K₈₁

K₈₂

K₈₃

K₈₅

K₈₆

K₈₇

K₈₈

K₈₉

K_8,11

K_8,12

K₉₁

K₉₂

K₉₃

K₉₅

K₉₆

K₉₇

K₉₈

K₉₉

K_9,11

K_9,12

K_11,1

K_11,2

K_11,3

K_11,5

K_11,6

K_11,7

K_11,8

K_11,9

K_11,11

K_11,12

K_12,1

K_12,2

K_12,3

K_12,5

K_12,6

K_11,7

K_12,8

K_12,9

K_12,11

K_12,12

(3.69)

где

K₁₁ = f₁ · [3 · (d₇ - d₁)² +
6
5
· (d₂ - d₈) · (d₆ + d₁₂) +
2 · l²
15
· (d₆ - d₁₂)²] + f₁ · [
6
5
· (d₃ - d₉)² -
l
5
· (d₃ - d₉) · (d₅ + d₁₁) +
2 · l²
12
· (d₅ - d₁₁)²];

K₇₇ = -K₇₁ = K₁₁;

K₂₁ = f₁ · [-2 · (d₇ - d₁) · (
6
5
· (d₂ - d₈) +
l
10
· (d₆ + d₁₂))];

K₈₁ = K₇₂ = -K₂₁;

K₃₁ = f₁ · [-2 · (d₇ - d₁) · (
6
5
· (d₃ - d₉) -
l
10
· (d₅ + d₁₁))];

K₉₁ = K₇₃ = -K₃₁;

K₅₁ = f₁ · [2 · (d₇ - d₁) · (
l
10
· (d₃ - d₉) -
l²
30
· (4 · d₅ - d₁₁))];

K₇₅ = -K₅₁;

K₆₁ = f₁ · [2 · (d₇ - d₁) · (-
l
10
· (d₂ - d₈) -
l²
30
· (4 · d₆ - d₁₂))];

K₇₆ = -K₆₁;

K_11,1 = f₁ · [2 · (d₇ - d₁) · (
l
10
· (d₃ - d₉) -
l²
30
· (4 · d₁₁ - d₅))];

K_11,7 = -K_11,1;

K_12,1 = f₁ · [2 · (d₇ - d₁) · (-
l
10
· (d₂ - d₈) -
l²
30
· (4 · d₁₂ - d₆))];

K_12,7 = -K_12,1;

197

K₂₂ = f₂ · [864 · (d₂ - d₈)² + 216 · l · (d₂ - d₈) · (d₆ + d₁₂) + 36 · l² · (d₆² + d1₂²) + 168 · (d₇ - d₁)²] + f₂ · [288 · (d₃ - d₉) · (d₅ + d₁₁) + 12 · l² · (d₅² + d₁₁²)];

K₈₈ = K₂₂;

K₃₂ = f₂ · [576(d₂ - d₈) · (d₃ - d₉) - 72 · l · ((d₂ - d₈) · (d₅ + d₁₁) - (d₃ - d₉) · (d₆ + d₁₂)] - f₂ · [24 · l² · (d₅ · d₆ + d₁₁ · d₁₂)];

K₉₂ = K₈₃ = -K₃₂;

K₅₂ = f₂ · [-72 · l · (d₂ - d₈) · (d₃ - d₉) + 24 · l² · (d₅ · (d₂ - d₈) - d₆ · (d₃ - d₉)] - f₂ ·[2 · l³ · (d₅ · (d₆ - d₁₂) - d₁₁ · (d₆ + d₁₂))];

K₆₃ = K₈₅ = -K₅₂;

K₆₂ = f₂ · [108 · l · (d₂ - d₈)² + 72 · l² · d₆ · (d₂ - d₈) - 3 · l² · (d₆² - 2 · d₆ ·d₁₂ - d₁₂²) + 28 · l · (d₇ - d₁)²] + f₂ · [36 · l · (d₃ - d₉)² - 24 · l² ·d₅ · (d₃ - d₉) - l³ · (d₅² - 2 · d₅ · d₁₁ - d₁₁²)];

K₈₆ = -K₆₂;

K_11,2 = f₂ · [-72 · l · (d₂ - d₈) · (d₃ - d₉) + 24 · l² · (d₁₁ · (d₂ - d₈) - d₁₂ · (d₃ - d₉)] - f₂ · [2 · l³ · (d₁₁ · (d₆ - d₁₂) - d₅ · (d₆ + d₁₂))];

K_12,3 = K_11,8 = -K_11,2;

K₃₃ = f₂ · [864 · (d₃ - d₉)² - 216 · l · (d₃d₉) · (d₅ + d₁₁) + 36 · l² · (d₅² + d₁₁²) + 168 · (d₇ - d₁)²] + f₂ · [288 · (d₂ - d₈)² + 72 · l · (d₂ - d₈) · (d₆ + d₁₂) + 12 · l² · (d₆² + d₁₂²)];

K₉₉ = -K₉₃ = K₃₃;

K₅₃ = f₂ · [-108 · l · (d₃ - d₉)² + 72 · l² · d₅ · (d₃ - d₉) + 3 · l³ · (d₅² - 2 · d₅ · d₁₁ - d₁₁²)] - f₂ · [28 · l · (d₇ - d₁)² - 36 · l · (d₂ - d₈)² - 24 · l² · d₆ · (d₂ - d₈) + l³ · (d₆² - 2 · d₆ · d₁₂ - d₁₂²)];

K₉₅ = -K₅₃;

K_11,3 = f₂ · [-108 · l · (d₃ - d₉)² + 72 · l² · d₁₁ · (d₃ - d₉) + 3 · l³ · (d₅² + 2 · d₅ · d₁₁ - d₁₁²)] - f₂ · [28 · l · (d₇ - d₁)² - 36 · l · (d₂ - d₈)² - 24 · l² · d₁₂ · (d₂ - d₈) - l³ · (d₆² + 2 · d₆ · d₁₂ - d₁₂²)];

K_11,9 = -K_11,3;

K₅₅ = f₂ · [36 · l² · (d₃ - d₉)² + 6 · l³ · (d₃ - d₅) · (d₅ - d₁₁) + 12 · l⁴ · (2 · d₅² -
1
2
· d₅ · d₁₁ +
1
6
· d₁₁²)] + f₂ · [
280 · l²
15
· (d₇ - d₁)² + 12 · l² · (d₂ - d₈)² - 2 · l³ · (d₂ - d₈) · (d₆ - d₁₂) + 4 · l⁴ · (2 · d₆² -
1
2
· d₆ · d₁₂ +
1
6
· d₁₂²)];

198

K₆₅ = f · [-24 · l² · (d₂ - d₈) · (d₃ - d₉) - 2 · l³ · ((d₅ - d₁₁) · (d₂ - d₈) - (d₆ - d₁₂) · (d₃ - d₉)] + f · [16 · l⁴ · (d₅ · d₆ -
1
8
· d₆ · d₁₁ -
1
8
· d₅ · d₁₂ +
1
12
· d₁₁ · d₁₂)];

K_11,5 = f₂ · [-6 · l³ · (d₃ - d₉) · (d₅ + d₁₁) - 3 · l⁴ · (d₅² -
4
3
· d₅ · d₁₁ + d₁₁²) -
280 · l²
30
· (d₇ - d₁_²] + f₂ · [2 · l³ · (d₂ - d₈) · (d₆ + d₁₂) - l⁴ · (d₆² -
4
3
· d₆ · d₁₂ + d₁₂²)];

K_12,5 = f · [2 · l³ · ((d₂ - d₈) · (d₅ + d₁₁) - (d₃ - d₉) · (d₆ + d₁₂))] - f · [4 · l⁴ · (
1
2
· d₅ · d₆ -
1
3
· d₅ · d₁₂ +
1
2
· d₁₁ · d₁₂)];

K_11,6 = K_12,5;

K₆₆ = f₂ · [36 · l² · (d₂ - d₈) - 6 · l³ · (d₂ - d₈) · (d₆ - d₁₂) + 12 · l · (2 · d₆² -
1
2
· d₆ · d₁₂ +
1
6
· d₁₂²)] + f₂ · [
280 · l²
15
· (d₇ - d₁)² + 12 · l² · (d₃ - d₉) + 2 · l³ · (d₃ - d₉) · (d₅ - d₁₁)] + f₂ · [4 · l⁴ · (2 · d₅² -
1
2
· d₅ · d₁₁ +
1
6
· d₁₁²)];

K_12,6 = f₂ · [6 · l³ · (d₂ - d₈) · (d₆ + d₁₂) - 3 · l⁴ · (d₆² -
4
3
· d₆ · d₁₂ + d₁₂²) -
280 · l²
30
· (d₇ - d₁)²] - f₂ · [2 · l³ · (d₃ - d₉) · (d₅ + d₁₁) - l⁴ · (d₅² -
4
3
· d₅ · d₁₁ + d₁₁²)];

K_11,11 = f · [36 · l² · (d₃ - d₉)² - 6 · l³ · (d₃ - d₉) · (d₅ - d₁₁) + 12 · l⁴ · (
1
6
· d₅² -
1
2
· d₅ · d₁₁ + 2 · d₁₁²)] + f · [
280 · l²
15
· (d₇ - d₁)² + 12 · l² · (d₂ - d₈0² + 2 · l³ · (d₂ - d₈) · (d₆ - d₁₂)] + f · [4 · l⁴ · (
1
6
· d₆² -
1
2
· d₆ · d₁₂ + 2 · d₁₂²)];

K_12,11 = f₂ · [-24 · l² · (d₂ - d₈) · (d₃ - d₉) + 2 · l³ · ((d₂ - d₈) · (d₅ - d₁₁) - (d₃ - d₉) · (d₆ - d₁₂))] + f₂ · [16 · l⁴ · (
1
12
· d₅ · d₆ -
1
8
· d₆ · d₁₁ -
1
8
· d₅ · d₁₂ + d₁₁ · d₁₂)];

K_12,12 = f₂ · [36 · l² ·(d₂ - d₈)² + 6 · l³ · (d₂ - d₈) · (d₆ - d₁₂) + 12 · l⁴ · (
1
6
· d₆² -
1
2
· d₆ · d₁₂ + 2 · d₁₂²)] + f₂ · [
280 · l²
15
· (d₇ - d₁)² + 12 · l² · (d₃ - d₉)² - 2 · l³ · (d₃ - d₉) · (d₅ - d₁₁)] + f₂ ·[4 · l⁴ · (
1
6
· d₅² -
1
2
· d₅ · d₁₁ + 2 · d₁₁²)];

f₁ =
E · A
2 · l³
; f₂ =
E · A
280 · l³

199

Для изгибаемых элементов матрица направляющих косинусов имеет вид

T_12x12=

	T₁
	0
	0
	0

T₁

0
0
0
T₁

(3.70)

где

T₁ =

	c_x
	^t₁/_l₂
	^t_yz/_l₃

c_y

^t₂/_l₂

^t_xz/_l₃

c_z
^t₃/_l₂
^t_xy/_l₃

(3.71)

здесь l₂ = √t₁² + t₂² + t₃²; l₃ = √t_xy² + t_yz² + t_xz²;

t_xy =
1
2
· (X_i · (Y_g - X_k) - Y_i · (X_g - X_k) + X_g · Y_k - Y_g · X_k);

t_yz =
1
2
· (Y_i · (Z_g - Z_k) - Z_i · (Y_g - Y_k) + Y_g · Z_k - Z_g · Y_k);

t_xz =
1
2
· (Z_i · (X_g - X_k) - X_i · (Z_g - Z_k) + Z_g · X_k - X_g · Z_k) .

t₁
t₂
t₃
=
1 - C_x²
-C_x · C_y
-C_x · C_z

-C_x · C_y
1 - C_y²
-C_y · C_z

-C_x · C_z
-C_y · C_z
1 - C_z²
×
X_k - X_i
Y_k - Y_i
Z_k - Z_i

200

188 :: 189 :: 190 :: 191 :: 192 :: 193 :: 194 :: 195 :: 196 :: 197 :: 198 :: 199 :: 200 :: Содержание

	Lib4all.Ru © 2010.
	Корпоративная почта для бизнеса Tendence.ru