3.2. Расчет гибких нитей и предварительно напряженных стержневых конструкций методом конечных элементов

Плоские и пространственные предварительно напряженные конструкции, однопоясные и двухпоясные висячие системы, плоские и объемные пространственные сети могут быть рассчитаны при едином подходе методом конечных элементов. Начало развития этого метода было заложено в шестидесятые и семидесятые годы, получило в последствии широкое применение при расчете различных конструкций.

Использование этого метода позволяет производить как статические, так и динамические расчеты, применяя единый алгоритм подготовки и ввода исходных данных для конструкций различного вида и уровня сложности.

Существенный вклад в развитие метода конечных элементов внесли как отечественные ученые [13], [15], [31], так и зарубежные специалисты, позволившие разработать целый ряд универсальных программ для расчета на ЭВМ. К ним относятся ЛИРА, ГАММА, Mikrofe и другие отечественных авторов, а также NASTRAN, OKABUS, ANSYS, FLOWERS и другие зарубежных разработчиков.

Несмотря на очевидные преимущества, применение метода конечных элементов имеет и определенные недостатки. Использование метода упрощается в тех случаях, когда

  1. Элементы вантовой системы прямолинейны.
  2. Величина усилия предварительного напряжения известна заранее.

С другой стороны, при проведении расчетов могут возникнуть некоторые трудности, которые преодолеваются с помощью специальных приемов.

К таким проблемам относятся:

  • - численная и практическая реализация предварительного напряжения;
  • - учет влияния жесткости опорных контуров на напряженное состояние канатных элементов;
  • - использование криволинейных элементов;
  • - учет расчетов на устойчивость опорных конструкций.

3.2.1. Теоретические основы метода конечных элементов для расчета предварительно напряженных стержневых и вантовых систем

В расчете таких конструкций методом конечных элементов принимаются следующие предпосылки:

  • - канатные элементы аппроксимируются прямолинейными стержнями постоянного сечения;

188

  • - канатные элементы передают только нормальную растягивающую силу;
  • - опорные элементы работают на сжатие с изгибом;
  • - внешняя нагрузка прикладывается в узлы конструкции;
  • - зависимость между напряжениями и деформациями принимается линейной.

Эти предпосылки значительно упрощают расчет и позволяют рассматривать канатные конструкции как стержневые системы. При этом необходимо учитывать, что вантовые конструкции отличаются от стержневых тем, что первые из них могут быть многократно статически неопределимыми и при определенных условиях геометрически изменяемыми.

Рис. 3.11. Геометрическая изменяемость отдельных систем: а - система геометрически изменяема; б, в - системы геометрически неизменяемые.
Рис. 3.11. Геометрическая изменяемость отдельных систем:
а - система геометрически изменяема; б, в - системы геометрически неизменяемые.

На рис. 3.11, а показана простая канатная система, являющаяся геометрически изменяемой. Для схем рис. 3.11,6 и 3.11,в геометрическая неизменяемость обеспечена благодаря наличию достаточного количества стержней (рис. 3.11,6) или наличию внешней нагрузки.

Такие системы являются нелинейными, для их решения используются различные итеративные методы. Наиболее распространенными из них являются методы Эйлера, Ньютона-Рафсона и другие.

3.2.1.1. Матрица жесткости шарнирно-опертого стержневого и канатного элементов

При расчете вантовых и предварительно напряженных комбинированных конструкций производится учет деформируемого состояния при составлении уравнений равновесия. Рассмотрим элемент, деформирующийся в плоскости под действием узловых сил. Из геометрических соотношений, принимая начальную длину l = 1, можно получить (рис. 3.12)

189

Рис. 3.12. Деформированное состояние стержня
Рис. 3.12. Деформированное состояние стержня
1 + Δl = (1 + Δx)2 + Δz2 = 1 + 2 · Δx + Δx2 + Δz2

(3.44)

Раскладывая в степенной ряд подкоренное выражение (3.44),получим:

ε = u'x +
1
2
· (u'x)2 +
1
2
· (w'x)2
ε; =
Δl
l
, u'x =
Δx
l
, w'x = 
Δz
l

(3.45 а)

Для деформирования стержня в пространстве выражение (3.45 а) имеет вид:

ε = u'x +
1
2
 · (u'x)2 + 
1
2
 · (v'x)2 + 
1
2
 · (w'x)2

(3.45 б)

В уравнениях (3.45 а) и (3.45 б) все слагаемые кроме первого являются нелинейными составляющими, зависят от деформированного состояния. Эти выражения применены в дальнейшем для определения энергии деформации стержневой системы, с помощью которой, используя первую теорему Кастелиано [103], находят матрицу жесткости для рассчитываемой конструкции.

Выражение для энергии деформации U имеет вид:

U =
1
2
 · 
l
0
 
A
σ · ε · dA · dx =
1
2
 · 
l
0
 
A
E · σ2 · dA · dx

или

U =
1
2
 · 
l
0
E · A · ε2 · dx

(3.46)

при A = const,

где А, Е - площадь сечения и модуль упругости стержня (E = const); σ - напряжение в стержне.

Подставляя значение деформаций (3.45 б) в (3.46), получим

U =
1
2
 · 
l
0
E · A · [(u`x +
1
2
 · (u'x)2 +
1
2
 · (v'x)2 +
1
2
· (w'x)2]2 · dx

(3.47)

или

190

U = U(0) + U(1) + U(2)

(3.48)

где

U(0) =
E · A
2
 · 
l
0
(u'x)2 · dx

(3.49)

U(1) =
E · A
2
 · 
l
0
[(u'x)3 + (u'x) · (v'x)2 + (u') · (w')2 ] · dx

(3.50)

U(2) =
E · A
2
 · 
l
0
[(
1
2
 · (u')2 · (v')2 + (u')2 · (w')2 ) +
1
4
 · { (u')4 + (v')4 + (w')4} ] · dx

(3.51)

Составляющие сил, приложенных к стержню Si, по направлениям действующих деформаций di могут быть получены с учетом теоремы Кастелиано из выражения

Si =
δU
δd

(3.52)

Коэффициенты матрицы жесткости выглядят следующим образом

kij =
δSi
δdi

(3.53)

Матрица жесткости элементов для расчетов с учетом геометрической нелинейности имеет вид

К = К(0)(1)(2)

(3.54)

где К(0) - линейная составляющая матрицы жесткости;

K(1), К(2) - нелинейные добавки, учитывающие деформированное состояние стержневой системы при загружении, причем для К(1) входящие параметры перемещения в первой степени и для К(2) - во второй.

Соотношение между усилиями в узлах и перемещениями узлов для любого шарнирно-опертого элемента на ступени загружения q (рис. 3.13) в каждой системе координат (х, у, z) имеет в матричной форме следующий вид:

К · δ = S

(3.55)

где δ = {d1d2d3d4d5d6} - вектор перемещения узлов в локальной системе координат.

s = {S1S2S3S4S5S6} - вектор усилий в узлах.

К = К(0)(1)(2) - тангенциальная матрица жесткости стержня в локальной системе координат.

Составляющие тангенциальной матрицы жесткости шарнирно опертого элемента имеют следующий вид [50], [84]:

191

Рис. 3.13. Шарнирно опертый стержневой элемент: 1,2,3... - направления перемещений
Рис. 3.13. Шарнирно опертый стержневой элемент: 1,2,3... - направления перемещений
K(0) =
E · A
l
 · 
 
 
 
 
 
 
K11
0
0
K41
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
K11
0
0
K44
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
 
 
 
 
 
 

(3.56)

где К11 = К44 = -K41 = l

K(1) =
E · A
l2
·
  K11 K12 K13 K14 K15 K16  
  K21 K22 0 K24 K25 0  
  K31 0 K33 K34 0 K36  
  K41 K42 K43 K44 K45 K46  
  K51 K52 0 K54 K55 0  
  K61 0 K63 K64 0 K66  

(3.56)



где K11 = K44 = -K41 = 3 · (d4 - d1)
K21 = K54 = -K51 = -K42 = d5 - d2
K31 = K64 = -K61 = -K43 = -K43 = d6 - d3 ,
K22 = K55 = -K52 = d4 - d1
K33 = K66 = -K63 = d4 - d1

192

K(2) =
E · A
l3
·
  K11 K12 K13 K14 K15 K16  
  K21 K22 K23 K24 K25 K26  
  K31 K32 K33 K34 K35 K36  
  K41 K42 K43 K44 K45 K46  
  K51 K52 K53 K54 K55 K56  
  K61 K62 K63 K64 K65 K66  

(3.58)

где K11 = K44 = -K41 =
3
2
· (d4 - d1) +
1
2
· (d5 - d2) +
1
2
· (d6 - d3)
K21 = K54 = -K51 = -K42 = (d4 - d1) · (d5 - d2)
K31 = K64 = -K61 = -K43 = (d4 - d1) · (d6 - d3)
K22 = K55 = -K52 =
1
2
· (d4 - d1) +
3
2
· (d5 - d2) +
1
2
· (d6 - d3)
K23 = K56 = -K26 = -K53 = (d5 - d2)· (d6 - d3)
K33 = K66 = -K63 =
1
2
· (d4 - d1) +
1
2
· (d5 - d2) +
3
2
· (d6 - d3)

Зависимость между узловой нагрузкой и перемещениями узлов в глобальной системе координат (X,Y,Z) имеет вид

K · δ = S

(3.58)



где δ = {d1d2d3d4d5d6}
S = {S1S2S3S4S5S6}
K = K(0) + K(1) + K(2)

Переход от параметров матрицы жесткости, перемещений и усилий в локальной системе координат к соответствующим значениям в глобальной системе координат (рис. 3.14) осуществляется следующим образом

К = Т · К · ТT

(3.60)

d = T · d

(3.61)

d = TT · d

(3.62)

S = TT · S

(3.63)

S = T · S

(3.64)

Здесь Т - матрица направляющих косинусов;

ТT - транспонированная матрица Т;

d, S - соответственно перемещения узлов и усилия в элементах в глобальной системе координат;

d,S - перемещения узлов и усилия в элементах в локальной системе координат.

Матрица направляющих косинусов может быть записана в виде:

193

T =
  Cx Cy Cz 0 0 0  
  -Cx · Cly l1/l -Cz · Cly 0 0 0  
  -Clz 0 Clx 0 0 0  
  0 0 0 Cx Cy Cz  
  0 0 0 -Cx · Cly l1/l -Cz · Cly  
  0 0 0 -Clz 0 Clx  

(3.65)

где Cy =
lx
l 
, lx = X2 - X1, Clx =
lx
l1
,

Cy =
ly
l 
, ly = Y2 - Y1, Cly =
ly
l1
,

Cz =
lz
l 
, lz = Z2 - Z1, Clz =
lz
l1
.

l = lx2 + ly2 + lz2 , l1 = lx2 + lz2.

Рис. 3.14. Переход от локальной к глобальной системам координат
Рис. 3.14. Переход от локальной к глобальной системам координат

3.2.1.2. Матрица жесткости изгибаемого стержневого элемента

Для изгибаемого элемента относительная деформация под нагрузкой может быть представлена в виде

ε = u' +
1
2
· (u')2 +
1
2
· (w')2 + z · w'' + y · v''

(3.66)

где z, у - соответственно координаты точки в сечении стержня относительно осей у и z.

Подставляя значение (3.66) в выражение для энергии деформации можно получить матрицу жесткости (3.4) для изгибаемого элемента по направлениям перемещений согласно рис. 3.15.

194

Рис. 3.15. Изгибаемый элемент в пространстве
Рис. 3.15. Изгибаемый элемент в пространстве
K0 =
  K11 0 0 0 0 0 K17 0 0 0 0 0  
  0 K22 0 0 0 K26 0 K28 0 0 0 K2,12  
  0 0 K33 0 K35 0 0 0 K39 0 K3,11 0  
  0 0 0 K44 0 0 0 0 0 K4,10 0 0  
  0 0 K53 0 K55 0 0 0 K59 0 K5,11 0  
  0 K62 0 0 0 K66 0 K68 0 0 0 K6,12  
  K71 0 0 0 0 0 K77 0 0 0 0 0  
  0 K82 0 0 0 K86 0 K88 0 0 0 K8,12  
  0 0 K93 0 K95 0 0 0 K99 0 K9,11 0  
  0 0 0 K10,4 0 0 0 0 0 K10,10 0 0  
  0 0 K11,3 0 K11,5 0 0 0 K11,9 0 K11,11 0  
  0 K12,2 0 0 0 K12,6 0 K12,8 0 0 0 K12,12  

(3.67)

где K11 = K77 = -K71 =
E · A
l
; K22 = K88 = -K82 = 12 ·
E · Iz
l3
;

K26 = K3,11 = -K8,12 = 6 ·
E · Iz
l2
; K33 = K99 = -K93 = 12 ·
E · Iy
l3
;

K35 = K3,11 = -K9,11 = -6 ·
E · Iy
l2
; K44 = K10,10 = K10,4 =
G ·JT
l
;

K55 = K11,11 = 4 ·
E · Iy
l
; K5,11 = 2 ·
E · Iy
l
;

K66 = K12,12 = 4 ·
E · Iy
l
; K6,12 = 2 ·
E · Iy
l
.

195

Первая нелинейная компонента

K1 =
  K11 K12 K13 0 K15 K16 K17 K18 K19 0 K1,11 K1,12  
  K21 K22 0 0 0 K26 K27 K28 0 0 0 K2,12  
  K31 0 K33 0 K35 0 K37 0 K39 0 K3,11 0  
  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  
  K51 0 K53 0 K55 0 K57 0 K59 0 K5,11 0  
  K62 K62 0 0 0 K66 K67 K68 0 0 0 K6,12  
  K71 K72 K73 0 K75 K76 K77 K78 0 0 0 K7,12  
  K81 K82 0 0 0 K86 K87 K88 0 0 0 K8,12  
  K91 0 K93 0 K95 0 K97 0 K99 0 K9,11 0  
  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  
  K11,1 0 K11,3 0 K11,5 0 K11,7 0 K11,9 0 K11,11 0  
  K12,1 K12,2 0 0 0 K12,6 K11,7 K12,8 0 0 0 K12,12  

(3.68)

где K11 = K77 = -K71 = 3 · (d7 - d1);

K21 = -K81 = -K72 = K87 =
6
5
· (d8 - d2) -
l
10
· (d6 + d12);

K31 = -K91 = -K73 = K97 =
6
5
· (d9 - d3) -
l
10
· (d5 + d11);

K51 = -K75 = -
l
10
· (d9 - d3) -
l2
30
· (4 · d5 - d11);

K61 = -K76 =
l
10
· (d8 - d2) -
l2
30
· (4 · d6 - d12);

K11,1 = -K11,7 = -
l
10
· (d9 - d3) -
l2
30
· (4 · d11 - d5);

K12,1 = -K12,7 =
l
10
· (d8 - d2) -
l2
30
· (4 · d12 - d6);

K22 = K33 = K88 = K99 = -K82 = -K93 =
6
5
· (d7 - d1);

K62 = K12,2 = -K53 = -K11,3 =
l
10
· (d7 - d1);

K95 = -K86 = -K12,8 = K11,9 =
l
10
· (d7 - d1);

K55 = K66 = K11,11 = K12,12 =
2 · l2
15
· (d7 - d1);

K11,5 = K12,5 =
l2
30
· (d7 - d1).

Вторая нелинейная компонента

196

K2 =
  K11 K12 K13 0 K15 K16 K17 K18 K19 0 K1,11 K1,12  
  K21 K22 K23 0 K25 K26 K27 K28 K29 0 K2,11 K2,12  
  K31 K32 K33 0 K35 K36 K37 K38 K39 0 K3,11 K3,12  
  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  
  K51 K52 K53 0 K55 K56 K57 K58 K59 0 K5,11 K5,12  
  K61 K62 K63 0 K65 K66 K67 K68 K69 0 K6,11 K6,12  
  K71 K72 K73 0 K75 K76 K77 K78 K79 0 K7,11 K7,12  
  K81 K82 K83 0 K85 K86 K87 K88 K89 0 K8,11 K8,12  
  K91 K92 K93 0 K95 K96 K97 K98 K99 0 K9,11 K9,12  
  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  
  K11,1 K11,2 K11,3 0 K11,5 K11,6 K11,7 K11,8 K11,9 0 K11,11 K11,12  
  K12,1 K12,2 K12,3 0 K12,5 K12,6 K11,7 K12,8 K12,9 0 K12,11 K12,12  

(3.69)

где

K11 = f1 · [3 · (d7 - d1)2 +
6
5
· (d2 - d8) · (d6 + d12) +
2 · l2
15
· (d6 - d12)2] + f1 · [
6
5
· (d3 - d9)2 -
l
5
· (d3 - d9) · (d5 + d11) +
2 · l2
12
· (d5 - d11)2];

K77 = -K71 = K11;

K21 = f1 · [-2 · (d7 - d1) · (
6
5
· (d2 - d8) +
l
10
· (d6 + d12))];

K81 = K72 = -K21;

K31 = f1 · [-2 · (d7 - d1) · (
6
5
· (d3 - d9) -
l
10
· (d5 + d11))];

K91 = K73 = -K31;

K51 = f1 · [2 · (d7 - d1) · (
l
10
· (d3 - d9) -
l2
30
· (4 · d5 - d11))];

K75 = -K51;

K61 = f1 · [2 · (d7 - d1) · (-
l
10
· (d2 - d8) -
l2
30
· (4 · d6 - d12))];

K76 = -K61;

K11,1 = f1 · [2 · (d7 - d1) · (
l
10
· (d3 - d9) -
l2
30
· (4 · d11 - d5))];

K11,7 = -K11,1;

K12,1 = f1 · [2 · (d7 - d1) · (-
l
10
· (d2 - d8) -
l2
30
· (4 · d12 - d6))];

K12,7 = -K12,1;

197

K22 = f2 · [864 · (d2 - d8)2 + 216 · l · (d2 - d8) · (d6 + d12) + 36 · l2 · (d62 + d122) + 168 · (d7 - d1)2] + f2 · [288 · (d3 - d9) · (d5 + d11) + 12 · l2 · (d52 + d112)];

K88 = K22;

K32 = f2 · [576(d2 - d8) · (d3 - d9) - 72 · l · ((d2 - d8) · (d5 + d11) - (d3 - d9) · (d6 + d12)] - f2 · [24 · l2 · (d5 · d6 + d11 · d12)];

K92 = K83 = -K32;

K52 = f2 · [-72 · l · (d2 - d8) · (d3 - d9) + 24 · l2 · (d5 · (d2 - d8) - d6 · (d3 - d9)] - f2 ·[2 · l3 · (d5 · (d6 - d12) - d11 · (d6 + d12))];

K63 = K85 = -K52;

K62 = f2 · [108 · l · (d2 - d8)2 + 72 · l2 · d6 · (d2 - d8) - 3 · l2 · (d62 - 2 · d6 ·d12 - d122) + 28 · l · (d7 - d1)2] + f2 · [36 · l · (d3 - d9)2 - 24 · l2 ·d5 · (d3 - d9) - l3 · (d52 - 2 · d5 · d11 - d112)];

K86 = -K62;

K11,2 = f2 · [-72 · l · (d2 - d8) · (d3 - d9) + 24 · l2 · (d11 · (d2 - d8) - d12 · (d3 - d9)] - f2 · [2 · l3 · (d11 · (d6 - d12) - d5 · (d6 + d12))];

K12,3 = K11,8 = -K11,2;

K33 = f2 · [864 · (d3 - d9)2 - 216 · l · (d3d9) · (d5 + d11) + 36 · l2 · (d52 + d112) + 168 · (d7 - d1)2] + f2 · [288 · (d2 - d8)2 + 72 · l · (d2 - d8) · (d6 + d12) + 12 · l2 · (d62 + d122)];

K99 = -K93 = K33;

K53 = f2 · [-108 · l · (d3 - d9)2 + 72 · l2 · d5 · (d3 - d9) + 3 · l3 · (d52 - 2 · d5 · d11 - d112)] - f2 · [28 · l · (d7 - d1)2 - 36 · l · (d2 - d8)2 - 24 · l2 · d6 · (d2 - d8) + l3 · (d62 - 2 · d6 · d12 - d122)];

K95 = -K53;

K11,3 = f2 · [-108 · l · (d3 - d9)2 + 72 · l2 · d11 · (d3 - d9) + 3 · l3 · (d52 + 2 · d5 · d11 - d112)] - f2 · [28 · l · (d7 - d1)2 - 36 · l · (d2 - d8)2 - 24 · l2 · d12 · (d2 - d8) - l3 · (d62 + 2 · d6 · d12 - d122)];

K11,9 = -K11,3;

K55 = f2 · [36 · l2 · (d3 - d9)2 + 6 · l3 · (d3 - d5) · (d5 - d11) + 12 · l4 · (2 · d52 -
1
2
· d5 · d11 +
1
6
· d112)] + f2 · [
280 · l2
15
· (d7 - d1)2 + 12 · l2 · (d2 - d8)2 - 2 · l3 · (d2 - d8) · (d6 - d12) + 4 · l4 · (2 · d62 -
1
2
· d6 · d12 +
1
6
· d122)];

198

K65 = f · [-24 · l2 · (d2 - d8) · (d3 - d9) - 2 · l3 · ((d5 - d11) · (d2 - d8) - (d6 - d12) · (d3 - d9)] + f · [16 · l4 · (d5 · d6 -
1
8
· d6 · d11 -
1
8
· d5 · d12 +
1
12
· d11 · d12)];

K11,5 = f2 · [-6 · l3 · (d3 - d9) · (d5 + d11) - 3 · l4 · (d52 -
4
3
· d5 · d11 + d112) -
280 · l2
30
· (d7 - d1_2] + f2 · [2 · l3 · (d2 - d8) · (d6 + d12) - l4 · (d62 -
4
3
· d6 · d12 + d122)];

K12,5 = f · [2 · l3 · ((d2 - d8) · (d5 + d11) - (d3 - d9) · (d6 + d12))] - f · [4 · l4 · (
1
2
· d5 · d6 -
1
3
· d5 · d12 +
1
2
· d11 · d12)];

K11,6 = K12,5;

K66 = f2 · [36 · l2 · (d2 - d8) - 6 · l3 · (d2 - d8) · (d6 - d12) + 12 · l · (2 · d62 -
1
2
· d6 · d12 +
1
6
· d122)] + f2 · [
280 · l2
15
· (d7 - d1)2 + 12 · l2 · (d3 - d9) + 2 · l3 · (d3 - d9) · (d5 - d11)] + f2 · [4 · l4 · (2 · d52 -
1
2
· d5 · d11 +
1
6
· d112)];

K12,6 = f2 · [6 · l3 · (d2 - d8) · (d6 + d12) - 3 · l4 · (d62 -
4
3
· d6 · d12 + d122) -
280 · l2
30
· (d7 - d1)2] - f2 · [2 · l3 · (d3 - d9) · (d5 + d11) - l4 · (d52 -
4
3
· d5 · d11 + d112)];

K11,11 = f · [36 · l2 · (d3 - d9)2 - 6 · l3 · (d3 - d9) · (d5 - d11) + 12 · l4 · (
1
6
· d52 -
1
2
· d5 · d11 + 2 · d112)] + f · [
280 · l2
15
· (d7 - d1)2 + 12 · l2 · (d2 - d802 + 2 · l3 · (d2 - d8) · (d6 - d12)] + f · [4 · l4 · (
1
6
· d62 -
1
2
· d6 · d12 + 2 · d122)];

K12,11 = f2 · [-24 · l2 · (d2 - d8) · (d3 - d9) + 2 · l3 · ((d2 - d8) · (d5 - d11) - (d3 - d9) · (d6 - d12))] + f2 · [16 · l4 · (
1
12
· d5 · d6 -
1
8
· d6 · d11 -
1
8
· d5 · d12 + d11 · d12)];

K12,12 = f2 · [36 · l2 ·(d2 - d8)2 + 6 · l3 · (d2 - d8) · (d6 - d12) + 12 · l4 · (
1
6
· d62 -
1
2
· d6 · d12 + 2 · d122)] + f2 · [
280 · l2
15
· (d7 - d1)2 + 12 · l2 · (d3 - d9)2 - 2 · l3 · (d3 - d9) · (d5 - d11)] + f2 ·[4 · l4 · (
1
6
· d52 -
1
2
· d5 · d11 + 2 · d112)];

f1 =
E · A
2 · l3
;   f2 =
E · A
280 · l3

199

Для изгибаемых элементов матрица направляющих косинусов имеет вид

T12x12=
 T1
0
0
0
0
T1
0
0
0
0
T1
0
0 
0
0
T1

(3.70)

где

T1 =
 cx
t1/l2
tyz/l3
cy
t2/l2
txz/l3
cz 
t3/l2
txy/l3

(3.71)

здесь l2 = t12 + t22 + t32; l3 = txy2 + tyz2 + txz2;

txy =
1
2
· (Xi · (Yg - Xk) - Yi · (Xg - Xk) + Xg · Yk - Yg · Xk);

tyz =
1
2
· (Yi · (Zg - Zk) - Zi · (Yg - Yk) + Yg · Zk - Zg · Yk);

txz =
1
2
· (Zi · (Xg - Xk) - Xi · (Zg - Zk) + Zg · Xk - Xg · Zk) .

 t1 
t2
t3
=
 1 - Cx2
-Cx · Cy
-Cx · Cz
   
-Cx · Cy
1 - Cy2
-Cy · Cz
   
-Cx · Cz 
-Cy · Cz
1 - Cz2
×
 Xk - Xi 
Yk - Yi
Zk - Zi

200

Rambler's Top100
Lib4all.Ru © 2010.