3.1.2. Гибкие нити с опорами, расположенными на разных уровнях

Для гибких нитей с опорами, расположенными на разных уровнях (рис. 3.8) и загруженными вертикальной нагрузкой q(x), условие равновесия имеет вид

M - F · sin α · x + F · cos α · y = 0

(3.31)

184

Здесь М - балочный момент для пролета l.

Геометрические параметры нити показаны на рис. 3.8 и 3.9.

Из уравнения (3.31) получим

y = x · tg α -
M
F · cos α

(3.32)

Максимальная величина усилия в нити

FB = (F · cos α)2 + (Rв + F · sin α)2

(3.33)

Длина нити в конечном состоянии может быть получена из выражения (3.23), где величина y` определяется из уравнения (3.32)

y` = tgα -
1
F · cos α
·
dM
dx
 = tgα -
Q
F · cos α

(3.34)

где Q - величина поперечной силы возникающей в балке, пролетом l, загруженной нагрузкой q(x).

Подставляя (3.34) в (3.23), получим

L =
l
0
1 + (tg α -
Q
f · cos α
)2
dx

(3.35)

Рис. 3.8. Гибкая нить с опорами на разных уровнях
Рис. 3.8. Гибкая нить с опорами на разных уровнях
Рис. 3.9. Координаты нитей
Рис. 3.9. Координаты нитей

185

Упругое удлинение нити составит:

ΔL =
F · cos α
E · A
·
l
0
[1 + (tg α -
Q
F · cos α
)2]dx

(3.36)

Уравнение (3.7) с учетом выражений (3.35) и (3.36) имеет вид:

l
0
1 + (tg α -
Q
F · cos α
)2
dx = L0 · (1 + αt · Δt) +
F · cos α
E · A
·
l
0
[1 + (tg α -
Q
F · cos α
)2]dx

(3.37)

Уравнение (3.37) применимо при любых видах вертикальной нагрузки q(x) и любых значениях стрелок провисания нитей. Оно точно отражает поведение нити под нагрузкой. Однако применение такого уравнения в практике расчетов вызывает затруднения в связи со сложностями численных итеративных вычислений. Для упрощения практических вычислений используются приближенные решения, в основу которых положена формула, предложенная В.К. Качуриным [19], для определения длины нити:

L = ls +
cos α
2 · F2
l
0
Q2 · dx

(3.38)

где ls - хорда нити (рис. 3.8).

Упругие деформации нити могут быть представлены в следующем виде:

ΔL =
F · L0
E · A

(3.39)

Подставляя (3.38), (3.39) в уравнение (3.7), получим

ls +
cos α
2 · F2
·
l
0
Q2 · dx = L0 · (1 + α · Δt) +
F · L0
E · A

(3.40)

после преобразования будем иметь

F3 + F2 · E · A ·[1 -
1
L0
· (ls - αt · Δt · L0)] =
E · A · cos α
2 · L0
l
0
Q2 · dx

(3.41)

Если угол наклона хорды к горизонту равен нулю, то выражение (3.41) преобразуется к виду (3.29). При q(x)=q=const уравнение (3.41) имеет вид

F3 + F2 · E · A ·[1 -
1
L0
· (ls - αt · Δt · L0)] =
E · A · cos α · q2 · l3
24 · L0

(3.42)

Если внешняя нагрузка действует в горизонтальном направлении (то есть q=q(y), (рис. 3.10)), то выражение (3.41) принимает следующую форму:

F3 + F2 · E · A ·[1 -
1
L0
· (ls - αt · Δt · L0)] =
E · A · cos β
2 · L0

(3.43)

186

то есть горизонтальную нагрузку можно рассматривать так же, как и вертикальное загружение, только с заменой пролета l на величину h - высоту подъема верхней опоры нити (рис. 3.10).

Сравнение расчетов по приближенной (3.41) и точной (3.37) формулам для равномерной нагрузки показало [104]:

  1. При малых значениях а тяжение F нити, направленное по хорде, полученное по формуле (3.41), несколько выше значений, полученных по формуле (3.37). При больших значениях угла а эти соотношения меняются наоборот.
  2. Различие между двумя решениями зависит не только от угла наклона хорды к горизонту, но и от величины относительной стрелки провисания нити cos α · f/l. Если отношение cos α ·f/ls меньше 0,05, то разница между расчетными величинами может считаться пренебрежимо малой. Величина относительной стрелки провисания cos α · f/ls на практике зависит от угла наклона хорды ls нити. Чем больше угол наклона, тем меньше отношение cos α · f/ls. Для оттяжек конструкций такое отношение колеблется в пределах 0.02 ÷ 0.05. Соотношения, полученные выше, имеют место и при других видах загружения. Формула (3.41) может быть использована для практических расчетов.
Рис. 3.10. Нити с горизонтальным приложением нагрузки
Рис. 3.10. Нити с горизонтальным приложением нагрузки

187

Rambler's Top100
Lib4all.Ru © 2010.