8.4.2. Нити, изгибающиеся под влиянием постоянной нагрузки

Эти нити обычно имеют сплошное сечение высотой h = (1/200...1/350) пролета, выполненное из прокатных профилей. Дифференциальное уравнение оси нити имеет вид:

ЕIу''(x) - Ну(х) = М(х), (8.51)

где М(х) - момент от поперечной нагрузки (балочный момент).

Распор, напряжения растяжения σr и изгиба σi в нити определяют по следующим формулам:

H =
M(x) - EIy''(x)
y(x)
  ;
(8.52) σr =
H
A
  =
M(x)
Ay(x)
  -
EIy''(x)
A
  ;
(8.53) σi =
Mm(x)
W
  =
EI(x) y(x)
W
  =
Ehy''(x)
2
  ,
(8.54)

378

где Мт - изгибающий момент в нити, А и h - площадь и высота сечения нити.

Аппроксимируя уравнение оси нити балочной функцией

(8.55)

где f - стрела провеса нити в середине пролета, можно определить распор, изгибающий момент и напряжения в середине пролета нити. При заданной высоте сечения h и стреле провеса для нити, загруженной равномерно распределенной нагрузкой, будем иметь:

H =
ql2
8f
  -
48EI
5l2
  ; M = EIy'' = EIf
192
20l2
  ;
σr =
ql2
8fA
  -
48EI
5l2A
  ; σi =
48Efh
10l2
  ; σ = σr + σi.
(8.56)

Дополнительная нагрузка вызывает перемещение нити, изменяет усилия в ней и возникает необходимость в совместном решении системы уравнений. В эту систему входят дифференциальное уравнение оси нити, загруженной постоянной нагрузкой (8.51), уравнение нити, загруженной полной расчетной нагрузкой, и зависимость между распорами и прогибами.

(8.57)

где H, Hq - распор от полной и постоянной нагрузок, у0(х) и у(х) - уравнения оси нити, загруженной постоянной и полной нагрузками.

Для определения компоновочных параметров нити задаемся рекомендуемой стрелой провеса f и высотой сечения нити h. Загружаем нить равномерной постоянной нагрузкой q, временной р по всему пролету и находим напряжения изгиба в середине пролета

σu = y''
h
2
  E =
192 fhE
20l2 · 2
  =
24 fEh
5l2
  .
(8.58)

Из формулы (8.56), пренебрегая вторым членом, определим площадь сечения нити:

379

A =
(q + p)l2
8 f (Ry - σu)
  .
(8.59)

Жесткость нити определим из допускаемых перемещений в четверти пролета. Предполагая дополнительные прогибы нити, загруженной временной нагрузкой на половине пролета подобными перемещению балки с пролетом 0,5l, найдем жесткость нити

f] =
5 · 0,5p (0,5l)4
384EI
  =
5pl4
384 · 32EI
  ,

откуда

EI =
5pl4
384 · 32[Δf]
  ,

где Δf - допускаемый прогиб в четверти пролета нити;

I =
5pl4
384 · 32 · Ef]
  .
(8.60)

Требуемые площадь сечения и момент инерции позволяют подобрать необходимый профиль по сортаменту.

Пример 8.2. Нить пролетом l = 65 м загружена постоянной нагрузкой q = 3,5 кН/м и временной p = 1,5 кН/м. Расчетное сопротивление материала нити Ry = 36,5 кН/см2. Задаемся стрелой провеса нити и высотой ее сечения

f =
1
20
  l =
1
20
  65 = 3,25 м; h
1
300
  l
1
300
  6500 = 20 см .

Найдем напряжение изгиба

σu =
24fEh
5l2
  =
24 · 325 · 2,06 ?#183; 104 · 20
5 · 65 · 104
  = 15,21 кН/см2.

Площадь сечения нити

A =
ql2
8f (Ry - Ru)
  =
5 · 652
8 · 3,25 · 21,3
  = 38,14 см2.

Определим жесткость нити из условия загружения покрытия временной нагрузкой на половине пролета

EI =
5 · 0,5P (0,5l)4
384EIf]
  =
5 · Pl4
384 · 32[Δf]
  .

Допускаемый прогиб в четверти пролета

Δf =
1
200
  l =
1
200
  65 = 0,325 м;
EI =
5 · 1,5 · 654 · 108
384 · 100 · 32 · 32,5
  = 44,68 · 106 кН·см;

380

I =
44,68 · 106
E
  =
44,68 · 106
2,06 · 104
  = 2169 см4.

Принимаем нить из двутавра № 20 с площадью сечения A = 38,95 см2 и моментом инерции I = 2660 см4.

Для определения напряженного состояния нити необходимо уточнить стрелу провеса. Приближенно величина прогиба при равномерной нагрузке по всему пролету

Δf =
3
128
 
Pl4
EA
 
μ2
f2
  ,
(8.61)

где μ ≈ 1 +
8
3
  (
f
l
  ) = 1,0066; μ2 = 1,0132;

Δf =
3 · 1,5 · 654 · 108 · 1,0132
128 · 100 · 2,06 · 104 · 38,95 · 3,252 · 104
  = 7,3 см;
σr =
ql2
8(f + Δf) A
  -
48EI
5l2A
  =
5 · 652
8(3,25 + 0,073) 38,95
  -
48 · 2,06 · 104 · 2660
5 · 652 · 104 · 38,95
  = 20,1 кН/см2;
σi =
48E (f + Δf) h
10l2
  =
48 · 2,06 · 104 · 332 · 20
10 · 652 · 104
  = 15,54 кН/см2;
σ = σr + σi = 20,1 + 15,54 = 35,64 кН/см2.

При известных параметрах поперечного сечения нити можно определить стрелу провеса, обеспечивающую минимальные напряжения в несущих элементах.

Полные напряжения в нити по формулам (8.56) равны

σ =
ql2
8f A
  -
48EI
5l2 A
  +
48Efh
10l2
  .

Приравнивая производную
dσ
df
  нулю , получим

f =
5ql4
192EAh
 
.
(8.62)

Пример 8.3. Определим оптимальную стрелу провеса для нити, выполненной из двутавра № 20. Площадь сечения A = 38,95 см2, высота сечения h = 20 см, пролет l = 65 м, нагрузка по всему пролету q = 5кН/м:

f =
5 · 5 · 64 · 108
192 · 2,06 · 104 · 38,95 · 20
 
= 380,578 см.

Напряжения в нити в этом случае будут равны

σi = 17,8 кН/см2; σr = 17,5 кН/см2; σ = 35,31 кН/см2.

381

Rambler's Top100
Lib4all.Ru © 2010.