Пример 7.1. Для ортогональной структурной плиты размерами в плане 30×30 м, свободно опертой по контуру на часто расположенные стойки и нагруженной равномерно распределенной расчетной нагрузкой 3 кПа, определить приближенно усилия в наиболее нагруженных стержнях поясных сеток и подобрать сечения стержней. Шаг сеток принят 3 м; нижние узлы смещены по отношению к верхним на половину шага; поясные диагонали отсутствуют (схему см. на рис.7.2); плита опирается на стойки верхними узлами; высота (толщина) структуры равна 2,12 м (т.е. длина раскосов равна длине стержней поясной сетки 3 м).

Поскольку система представляет собой две ортогональные группы перекрестных (наклонных) ферм и при отсутствии поясных диагоналей не сопротивляется кручению, то D_t = 0; v = 0.

• Определим приближенно значения изгибающих моментов в характерных точках плиты, пользуясь расчетной схемой, изображенной на рис. 7.19, и табл. 7.2. Для определения изгибающих моментов в центре плиты в таблице находим значения коэффициентов α₂ и α₃, которые, естественно, для квадратной плиты равны между собой α₂ - α₃ = 0,0429 ( для точки 1). По формуле (7.3) находим табличные значения изгибающих моментов для полосы шириной 1 м: M_xt = M_yt = α_2qa² = 0,0429 · 3 · 30² = 115,83 кН·м.

• Скорректируем значение изгибающего момента с учетом разницы между действительным и табличным значениями коэффициента Пуассона по формуле (7.10):

Таким образом, для полосы шириной 3 м значение расчетного изгибающего момента будет равно 3 · 2,04 · 115,83 = 708,88 кН·м.

• Приближенные значения расчетных продольных усилий в стержнях поясных сеток найдем делением изгибающего момента на высоту плиты

• Подберем сечения стержней поясных сеток. В нижнем (растянутом) поясе мы можем сразу же вычислить необходимую площадь сечения стержня и подобрать по сортаменту необходимое и достаточное по условию прочности сечение.

Примем для определенности, что материал несущих элементов структурной плиты - сталь класса С245 с расчетным сопротивлением R_y = 24 кН/см²; γ_с = 1. Тогда требуемая площадь сечения стержня равна 334,38/(24 · 1) = 13,93 см². По сортаменту (П11.13 [1]) находим сечение трубы Ø108×4,5 с площадью сечения A = 14,6 см². Для подбора сечения сжатого пояса необходимо задаться коэффициентом продольного изгиба φ (обычно значения φ находятся в пределах 0,6...0,8). Примем в первом приближении φ = 0,7. Тогда требуемая площадь сечения сжатого пояса, при учете коэффициента условий работы γ_c = 1, будет равна:

По сортаменту находим необходимое сечение трубы Ø127×5,5. Площадь сечения А = 21 см². Проверка устойчивости стержня N/Aφ = 334,387(0,754 · 21) = 21,12 кН/см² < R_yγ_c = 24 кН/см²; значение φ здесь найдено по фактической величине гибкости λ = l₀/i = 300/4,3 = 69,8; (l₀ = 300 см; i = 4,3 см). Условие предельной гибкости для сжатого элемента λ ≤ 180 - 60α (табл. П9.1 [1]) выполняется: в данном случае λ = 300/4,3 = 69,8 < 127 = 180 - 60(21,12/24).

Пример 7.2. Для структурной плиты, описанной в примере 7.1, определить приближенно усилия в наиболее нагруженных раскосах и подобрать их сечение.

Усилия в наиболее нагруженных раскосах найдем приближенно с помощью табл. 7.3. Наибольшие значения коэффициента as имеют место для точек 3 и 7 и равны 0,439. По формуле (7.5) находим значение погонной опорной реакции (силы, приходящейся на единицу длины опорной линии)

Примем для определенности, что стойки на контуре плиты расставлены с шагом 6 м. Тогда нагрузку на одну стойку надо собрать с длины опорной линии, равной 6 м. На одну стойку приходится сила V · 2b = 39,51 · 2 · 3 = 237,06 кН. Эта сила проектируется на направление двух примыкающих к стойке раскосов. В рассматриваемой системе принято, что длина раскоса равна длине стержня поясной сетки. В этом случае раскосы примыкают к вертикали под углом 45°. Тогда усилие в одном из раскосов будет равно N_d,3 = V · 2b/ 2cos45° = 237,06/2 · 0,707 = 167,64 кН.

Сечение растянутого раскоса подбираем по требуемой площади сечения из условия прочности N_d,3 / R_yγ_c - 167,64/24 · 1 = 6,985 см². По сортаменту находим трубу Ø70×4 с площадью сечения A_d = 8,3 см²; радиус инерции i = 2,3 см.

Условие предельной гибкости λ ≤ 400 (см. табл. П9.2 [1]) выполняется: 300/2,3 < 400.

Пример 7.3. Для рассмотренной выше структурной плиты дать оценку значения прогиба в центре плиты под указанной выше нагрузкой.

При определении прогиба конструкций пользуются нормативными величинами нагрузок, однако для упрощения процедуры расчета вначале можно дать оценку с запасом по расчетным нагрузкам, и если жесткость не обеспечена, то повторить расчет по нормативным нагрузкам. Мы так и поступим.

Предварительно найдем с помощью табл. 7.1 цилиндрическую жесткость плиты по формуле (7.11):

В табл. 7.1 находим значение α₁ = 0,00406 (для точки 1) и по формуле (7.2) определяем приближенное значение прогиба в центре плиты

Фактический прогиб структурной плиты окажется несколько больше этой величины по следующим причинам: во-первых, при определении цилиндрической жесткости принята в расчет наибольшая жесткость плиты в ее центре; во-вторых, на значении прогиба скажется сдвиговая податливость решетки; и наконец, в-третьих, прогиб увеличится из-за податливости узлов (например, в моделях структур с болтовыми соединениями, работающими на смятие и сдвиг). Неточность в оценке цилиндрической жесткости дает 15...20 %, влияние остальных факторов может дать увеличение прогиба еще на 20...25 %. В данном случае, если даже принять наибольшие значения коэффициентов (1,20 и 1,25), получаем окончательную оценку прогиба в центре плиты равной 3,71 · 1,20 · 1,25 = 5,6 см, что составляет = 1/540 от

пролета. Таким образом, по второй группе предельных состояний рассматриваемая структурная плита будет иметь запас, что вполне естественно, так как для обеспечения требуемой нормами жесткости квадратных плит достаточна высота плиты 1/20...1/24 от пролета, а в нашем же случае она составляет 2,12/30 ≈1/14 l.