7.3.2. Определение усилий в сечениях плиты с помощью справочных таблиц

Рассмотрим для определенности пластину, свободно опертую по контуру под действием нагрузки, равномерно распределенной по всей поверхности (рис. 7.19).

Расчетные формулы для такой пластины имеют вид [13]:

323

Рис. 7.19. Расчетная схема пластины с указанием точек, соответствующих данным таблиц 7.1...7.3
Рис. 7.19. Расчетная схема пластины с указанием точек, соответствующих данным таблиц 7.1...7.3
  • прогиб пластины в центре: w = α1
    qa4
    D
      ;
    (7.2)
  • изгибающие моменты: Мх = α2qa2; Му = α32;(7.3)
  • поперечная сила: Q = α4qa;(7.4)
  • опорные реакции на единицу длины опорных кромок:
V = α5qa; V0 = α6qab. (7.5)

Индексы при моментах означают направление, перпендикулярное соответствующей оси; V0 - реакции, сосредоточенные в вершинах прямоугольного опорного контура пластины.

Значения коэффициентов α1...α6 в зависимости от соотношения сторон b/а приведены в табл. 7.1...7.3 для указанных на рис. 7.19 точек пластины (при v= 1/6).

Цилиндрическая жесткость плиты D =
Et3
12(1 - v2)
  в первом приближении может быть определена, как для пластины с такой толщиной, чтобы она оказалась эквивалентной по изгибной жесткости полоске единичной ширины, вырезанной из структурной плиты. Практически это можно сделать

324

Таблица 7.1. Значения коэффициента α1 в формуле (7.2)

Таблица 7.2. Значения коэффициентов α2 и α3 в формуле (7.3)

Таблица 7.3. Значения коэффициентов α4, α5, α6 в формулах (7.4) и (7.5)

так: определить приближенно момент инерции поясных сеток (по ширине ячейки) и разделить на ширину ячейки. Предположим, что пояса ортогональной структуры расположены с шагом s - 3 м. Момент инерции структуры для полоски шириной 3 м определим по формуле:

Jx = 0,9
A1A2
A1 + A2
  h2,
(7.6)

где A1, А2 - площади сечения стержней верхней и нижней сеток; h - высота (толщина) структурной плиты.

325

Значение этого момента инерции, деленное на 300 см, и даст величину момента инерции J для полоски из плиты единичной ширины ( 1 см ). Эквивалентная толщина плиты, таким образом, равна t = 312J.

Таким образом, приближенное общее выражение для эквивалентной цилиндрической жесткости ортогональной структурной плиты может быть записано в виде:

D =
0,9EA1A2h2
b(A1 + A2)(1- v2)
  ,
(7.7)

где b - ширина ячейки структуры, см.

Для некоторых типов структур известны и более точные выражения для упругих характеристик [8], [9]. Так, для ортогональной системы с перекрестным расположением диагоналей в обеих поясных сетках при однородных упругих свойствах верхней и нижней сеток цилиндрическую жесткость плиты определяют выражением:

D = Dx = Dy =
EA1 stg2α
2
 
1 + v
1+ n
  ,
(7.8)

где А1 - площадь сечения стержня верхнего пояса; α - угол наклона раскосов, соединяющих пояса, к вертикали; п - соотношение площадей сечения поясов A1/A2.

Модули упругости плиты относительно главных осей и коэффициент Пуассона при этом находят по формулам:

Ex = Ey =
Eaf
s
  (1 + v), v =
1
1 + m2
  ,
(7.9)

где Af - площадь сечения пояса; m = Af / Ad, Ad - площадь сечения диагонали в сетке.

При значительном отличии коэффициента Пуассона от табличного (напомним, что в табл. 7.1...7.3 vt = 1/6) для уточнения значений изгибающих моментов можно воспользоваться приближенной формулой [12]:

М1 =
1
1 - v2t
  [(1 - vvt) Mit + (v - vt) M2t],
(7.10)

где M2 = My, если M1 = Мх и М2 = Мх, если М1 = Му; Mit - значение момента, определенное с помощью таблицы.

Регулярная система с квадратной ячейкой и диагоналями малого сечения (Ad → 0; m → ∞) превращается в систему, не воспринимающую кручения, близкую к обычным перекрестным фермам, у которой жесткость

326

на кручение Dt = 0 и v = 0. Цилиндрическую жесткость плиты в этом случае определяют по формуле:

D =
EA1s
2
 
tg2α
1+ n
  .
(7.11) При т → ∞ (Af → 0, т.е. поясные сетки вырождаются) система приближается к перекрестным фермам, развернутым под углом 45° к осям х и у, для которой v = 1, а цилиндрическая жесткость плиты D = Dt =
EA1ds
22
 
tg2α
1 + n
  ,
(7.12)

где A1d - площадь сечения верхней диагонали; п - соотношение площадей верхней и нижней диагоналей.

При необходимости приближенного расчета структурных плит с другими вариантами кристаллического строения вам придется обратиться к специальной литературе, например [8], [9].

327

Rambler's Top100
Lib4all.Ru © 2010.