ЛЕКЦИЯ ПЯТАЯ

ПРОСТРАНСТВО

Представления о пространстве формировались по мере освоения человеком жизненно необходимых территорий. Действительно, древнейшая область математики - геометрия (греч. geometria - землемерие) - зародилась как наука о способах измерения площадей, объемов, расстояний. В первой книге "Начал" (а всего их 15) Евклид еще в III веке до нашей эры предпринял попытку систематизации научных знаний по геометрии и определил те объекты, с которыми она работает:

  • точка есть то, что не имеет частей;
  • линия есть длина без ширины;
  • прямая есть такая линия, которая одинаково расположена относительно своих частей;
  • поверхность есть то, что имеет только длину и ширину;
  • плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямым, лежащим в этой плоскости.

Термины "не имеет частей", "ширина", "длина", "одинаково расположена" - скорее, характеристики окружающего физического мира, чем строгие математические определения. Они выявляют некоторые характерные свойства реальных объектов: натянутой струны или луча света, гладкой поверхности и т.п.

Наряду с этими определениями Евклид приводит и список геометрических постулатов, на которых в течение тысячелетий базировались представления о пространстве.

  1. Требуется, чтобы от любой точки до любой другой точки можно было провести прямую.

43

  1. И чтобы любую (ограниченную) прямую можно было продолжить.
  2. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любого радиуса.
  3. И чтобы все прямые углы были равны.
  4. Если две прямые пересечены третьей, то они пересекаются в той полуплоскости относительно секущей, где сумма односторонних внутренних углов меньше двух прямых.

Пятому постулату, объекту особо пристального и критического внимания, существует несколько эквивалентов. Один из них говорит, что сумма внутренних углов треугольника равна 180°. Но возникает вопрос: Евклидово ли пространство, в котором мы находимся? Не искривлено ли оно? Не пересекутся ли параллельные линии на бесконечности? Всегда ли сумма углов треугольника 180°?

Действительно, представим себе две линии, проведенные на поверхности сферы. Они могут замкнуть часть пространства. То есть возникает вопрос: что такое прямая в физическом мире? Иначе говоря: как построить в действительности прямую линию?

Ответ может быть прост. Возьмем луч света. Луч света - прямая линия, но только в однородном пространстве. Свет испытывает преломление, связанное с неоднородностью среды, по которой распространяется. Нам, например, известны миражи в неоднородно нагретом воздухе, другие оптические эффекты.

В XIX веке Н.И. Лобачевский (1792-1856) и Я. Бойаи (Больяй) (1802-1860) показали, что можно построить замкнутую геометрическую систему, в которой через заданную точку может проходить несколько прямых, параллельных заданной. Это была новая геометрия, построенная на постулатах, отличных от предложенных Евклидом. Именно они подготовили расширение понятий о пространстве и едином пространстве-времени в физике.

Примерно тогда же появилась геометрия Г.Ф.Б. Римана (1826-1866) - геометрия на сфере. В ней не может существовать ни одной прямой, параллельной заданной. Прямые здесь определяются как линии, проходящие через полюса сферы.

44

Как же все-таки определить, в каком пространстве мы живем, какой геометрией оно описывается?

Возможно, что проще всего это сделать, измерив углы большого треугольника. В геометрии Евклида сумма углов треугольника 180°, в геометрии Римана - больше 180°, в геометрии Лобачевского - меньше 180°.

Эксперименты по измерению углов треугольников в пространстве на больших базах были проведены К.Ф. Гауссом (1777-1855). Он с помощью геодезических приборов измерял углы треугольника, построенного на вершинах гор при расстоянии между ними около 100 км. Отклонений суммы углов от 180° не было обнаружено.

Лобачевский измерял углы треугольника, основание которого совпадало с диаметром земной орбиты, а вершина находилась в месте положения яркой звезды (Сириуса). Отклонений суммы углов от 180° не было обнаружено.

Но пусть мы выберем какой-то иной треугольник, произведем аналогичные описанным измерения и обнаружим, что сумма углов отличается от 180°. Можем ли мы тогда сделать однозначный вывод: пространство не подчиняется геометрии Евклида? Нет.

Действительно, откуда нам известно, что лучи света прямые? Может, они искривлены и не обладают свойствами Евклидовых прямых. Или проходят через неоднородное пространство и искривляются.

Живя на сфере и имея дело с линиями на поверхности сферы, мы, не задумываясь, используем геометрию Евклида в практической деятельности.

Вопрос, является ли наше пространство Евклидовым, не имеет ответа. Если мы договоримся, что лучи света распространяются по прямым линиям, а затем обнаружим, что сумма углов треугольника, образованных этими лучами, отличается от 180°, можно считать, что наш выбор данных лучей как прямых был неудачен, и попытаться заменить их чем-то другим. Именно эта возможность и является источником трудностей, связанных с выяснением вопроса: Евклидово ли пространство?

В теории тяготения Ньютона считается, что пространство Евклидово, а частицы двигаются криволинейно только под действием сил.

45

В общей теории относительности Эйнштейна предполагается, что единое пространство-время неевклидово, а частицы перемещаются вдоль путей, которые при заданной кривизне пространства совпадают с кратчайшими расстояниями между любыми двумя точками.

Эти воззрения принципиально различны.

Однако результаты обеих теорий в большинстве случаев совпадают. Это еще раз доказывает условность выбора точки зрения на геометрию пространства. Этот выбор - плод человеческой мысли. Его адекватность реальности проверяется по тому, насколько успешно оно объясняет наблюдаемые явления природы.

Способы описания пространства и объектов в пространстве развиваются и сегодня.

Так, мы хорошо знаем, что линия имеет размерность (т.е. число координат, необходимых для определения положения лежащей на этой фигуре точки) 1, плоскость - размерность 2, тело - размерность 3. Но можем ли мы представить себе множество с размерностью 3/2?

В 1919 году немецкий математик Ф. Хаусдорф (1868-1942) математически строго определил такое пространство. В 1975 году математик Ш. Мандельбройт (1899-1983) назвал пространства с дробной размерностью фрактальными (от англ. fraction - дробь). Сопоставляя классическую геометрию с новой, фрактальной, он писал: "...Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака - это не сферы, линии берега - это не окружность, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно. Существование этих структур бросает нам вызов в виде трудной задачи изучения тех форм, которые Евклид отбросил как бесформенные, - задачи исследования морфологии аморфного..."

Простейшим примером объекта, описываемого с помощью новой геометрии, является снежинка, открытая Г. Кох в 1904 г. (рис. 5.1). Из рисунка видно, как "растет"

46

Рис. 5.1 Снежинка Кох Демонстрирует, как конечную площадь можно охватить бесконечной (в пределе) замкнутой линией.
Рис. 5.1
Снежинка Кох
Демонстрирует, как конечную площадь можно охватить бесконечной (в пределе) замкнутой линией.

снежинка, ее рост ничем не ограничен. При этом, в пределе, конечная площадь будет охвачена бесконечной линией! Итальянский математик Э. Чезаро (1859-1906), удивленный внутренней бесконечностью и самоподобием снежинки Кох, писал в 1905 году: "Если бы она была одарена жизнью, то можно было бы лишить ее жизни, только уничтожив кривую в целом, в противном случае она возрождалась бы снова и снова из глубины своих треугольников, как это делает жизнь во Вселенной".

Заметим, что представления о фрактальных пространствах были введены формально, безотносительно к каким-либо физическим объектам. Сегодня же стало ясно, что использование аппарата фрактальной геометрии позволяет эффективно описывать разнообразные физические явления: свойства поверхности кристаллов, процессы в магнитных материалах, образование новых материалов при внешних воздействиях и др. При этом возникает некоторая проблема: в математике нет предела делимости, есть понятие бесконечности. В природе бесконечность отсутствует. При рассмотрении, например, поверхности кристалла пределом делимости будет размер атома.

Приведем определения пространства, даваемые математикой и физикой. Сравните их. В современной математике пространство определяют как множество каких-либо объектов, которые называют его точками. Ими могут быть геометрические фигуры, функции, состояния физической системы и т.д. Рассматривая их множество как пространство, отвлекаются от всяких их свойств и учитывают только те свойства их совокупности, которые определяются принятыми во внимание или введенными (по определению) отношениями. Эти отношения между точками и теми или иными фигурами, то есть множествами точек, определяют "геометрию" (Математика // Большой энциклопедический словарь. М., 1998). Физический энциклопедический словарь (М., 1983) дает следующее

47

определение: "...пространство выражает порядок сосуществования отдельных объектов, время - порядок смены явлений..."

В завершение приведем высказывание одного из современных математиков француза А. Гротендика (род. 1928): "...быть может, наступает пора извлечь на свет... аксиому, по умолчанию принятую среди физиков со времен античности, глубоко укоренившуюся в самом способе нашего восприятия пространства: аксиому, утверждающую непрерывность природы пространства и времени (или пространства-времени), "места", где происходят события, которые изучает физика... листая скромный томик, заключающий полное собрание трудов Римана, я был поражен замечанием, брошенным им мимоходом. Согласно ему, вполне могло бы случиться, что структура пространства, в конце концов, дискретна и что "непрерывные" ее модели, нами изготовляемые, представляют собой упрощение (возможно, чрезмерное...) более сложной действительности. Для человеческого разума "непрерывное" уловить легче, чем "разрывное", так что первое служит нам приближением, помогающим понять второе".

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

  1. Попробуйте дать определение понятия "пространство". Как понимают его разные науки?
  2. Каким способом мы измеряем пространство? Как выявить геометрию пространства?
  3. Приведите примеры субъективного восприятия пространства. Как пространство воспринимается в живописи, архитектуре, скульптуре?

48

Rambler's Top100
Lib4all.Ru © 2010.