ЛЕКЦИЯ ТРЕТЬЯ

ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ.
ИЗМЕРЕНИЯ

При исследовании природы приходится иметь дело с измерениями физических величин.

Под физической величиной понимается особенность, свойство, общее в качественном отношении многим физическим явлениям, объектам, физическим системам, их состояниям и т.п., но в количественном отношении индивидуальное для каждого объекта (Советский энциклопедический словарь, 1987). Примерами физических величин служат масса, плотность, интервал времени, вязкость...

Что такое измерение? Это последовательность экспериментальных и вычислительных операций, осуществляемая с целью нахождения значения физической величины, характеризующей некоторый объект или явление. Измерение завершается определением степени приближения найденного значения к истинному, неизвестному, значению величины. Чем точнее измерение, тем ближе эти два значения. Измерение, наряду с наблюдением, является основным средством объективного, не зависящего от человека, познания окружающего мира.

Строго говоря, законченное измерение включает несколько элементов. Собственно физический объект (явление), свойство или состояние которого характеризует измеряемая величина; единицу этой величины; технические средства измерений, проградуированные в этих единицах; метод измерения; и, наконец, наблюдателя (регистрирующее устройство), воспринимающего результат измерений. При этом необходимо уметь оценить

22

погрешность измерения, определить, насколько далеко измеренное значение от истинного.

Теперь можно проанализировать такой знакомый процесс, как покупку картошки. Хорошо известно, что картошку можно покупать ведрами, килограммами, штуками. Более того - площадями (когда отдают часть убранного вами урожая). И в любом случае мы будем иметь одно и то же - картошку!

Выберем наиболее распространенный способ покупки - взвешивание, то есть в качестве физической величины выбираем массу (здесь не место для анализа понятий "масса" и "вес", будем считать, что разница известна). Единица массы - килограмм (в международной системе единиц). Техническое средство измерений - весы и гири, проградуированные соответствующим образом. Метод измерения определяется тем, на каких весах производится взвешивание - рычажных или пружинных (типа динамометра, к ним относятся и электронные весы). С наблюдателем все понятно.

Измерения указанного типа носят название прямых измерений: мы непосредственно измеряем некую физическую величину. Однако бывают и косвенные измерения. В этом случае измеряются физические величины, от которых некоторым, известным экспериментатору, образом зависит интересующая его величина. К таким измерениям может быть отнесено, например, измерение массы по объему с помощью специально проградуированного кулинарного мерного стакана. Действительно, хозяйка измеряет объем физического тела и сразу определяет массу. Другое дело, что плотность соли, сахара или муки знает изготовитель стакана и наносит на него деления для разных продуктов. Именно поэтому деления для 100 г соли и 100 г муки находятся на разном расстоянии от верха. При этом совершенно не учитывается, что масса единицы объема сахара или соли зависит и от влажности.

Единицы физических величин устанавливаются соглашениями, и каждой из единиц соответствует некоторая образцовая мера - эталон. При этом эталоном может служить любая приемлемая для практики мера. Верность выбора той или иной меры в качестве эталона

23

определяется соответствием этой меры существующему в данный момент уровню техники.

Для примера приведем некоторые старые русские меры длины, массы и объема, часто встречающиеся в русской литературе (и их соответствие современным) и использовавшиеся в течение столетий.

Старые русские меры длины: 1 верста = 500 саженям = = 500 × 3 аршинам = 500 × 3 × 16 вершкам = 1,0668 км. Одновременно существовало другое деление сажени: сажень = 7 футам = 7 × 12 дюймам = 7 × 12 × 10 линиям = = 7 × 12 × 12 × 10 × 10 точкам = 2,1336 м.

Старые русские меры объема: 1 бочка = 40 ведрам = 40 × 10 штофам = 40 × 10 × 2 бутылкам = 40 × 10 × 2 × 5 чаркам = 40 × 10 × 2 × 5 × 2 шкаликам = 491,96 л.

Старые русские меры массы: 1 берковец = 10 пудам = = 10 × 40 фунтам = 10 × 40 × 32 лотам = 10 × 40 × 32 × 3 золотникам = 10 × 40 × 32 × 3 × 96 долям = 163,085 кг.

Видно, что система старых русских мер не имела постоянного, строго определенного коэффициента, характеризующего отношение между единицами измерений. Однако, как указывал еще Д.И. Менделеев, эта система являлась весьма удобной. Например, такие коэффициенты как 12, 16, 32 и 96, делились на большее (по сравнению с современными коэффициентами 10 и 100) количество чисел. Коэффициент 40 давал возможность определять на весах любую массу в пределах пуда при помощи только 4 гирь (1, 3, 9 и 27 фунтов).

Однако метрическая система мер, возникшая во Франции, оказалась более прогрессивной, и еще в 1867 г. Д.И. Менделеев обращался к участникам I съезда русских естествоиспытателей с призывом: "Облегчим... возможность всеобщего распространения метрической системы и чрез то посодействуем и в этом отношении общей пользе и будущему желанному сближению народов..."

Именно "...желанное сближение народов...", то есть экономические интересы, и являются главным условием согласования единиц измерения. Сегодня соответствующим соглашением основными единицами для измерения длины, массы, времени, температуры выбраны метр, килограмм, секунда и кельвин. Вопрос выбора

24

основных единиц измерения - это вопрос соглашения мирового сообщества в условиях сложившегося рынка товаров и услуг.

Еще одна проблема, связанная с эталонами единиц измерения, - это точность определения физической величины и воспроизведения эталона.

Первоначально метр, (единица длины, характеризующая пространственную протяженность объекта) в метрической системе, был определен через расстояние от Северного полюса до экватора по меридиану, проходившему через Париж (около 10 000 км). В 1889 г. за международный эталон метра приняли расстояние между двумя штрихами на стержне из платиноиридиевого сплава. Сравнение длины тела с эталонным метром проводили при помощи микроскопа с точностью до 2 × 10^-7.

В 1961 г. в качестве эталона метра принята длина волны оранжевого света, испускаемого изотопом криптона (⁸⁶Кr). Один метр составляет 1 650 763,73 длины волны этого излучения. В 1983 г. на Международной конференции по мерам и весам принято новое определение метра: "Метр - длина пути, проходимого светом в вакууме за 1/2999792458 долю секунды". Эталон, лежащий в основе измерений макромира, базируется на пространственных характеристиках микромира.

Важнейшей физической величиной является время. Что такое время? Как оно понимается современным естествознанием? Этому будет посвящена лекция 6. Здесь мы говорим о времени в практической деятельности человека, об измерениях интервалов времени между двумя последовательными событиями.

Для определения интервала времени могут быть использованы вполне определенные физические законы. Так, период вращения Земли с очень высокой степенью точности должен оставаться постоянным. Однако продолжительность суток подвержена различным влияниям. Поэтому за стандарт выбраны средние солнечные сутки 1900 г.

Из законов физики известно, что период колебаний механического маятника остается постоянным (без учета потерь на трение). То есть движение маятника можно

25

применить для использования в приборах измерения времени. Точность маятниковых часов со времени изобретения в XVII веке Г. Галилеем и X. Гюйгенсом (1629-1695) возросла к сегодняшнему дню в тысячи раз и достигает 0,001 с в сутки.

Неизменен и период колебаний кварцевой пластинки, помещенной во внешнее электрическое поле (если постоянны температура и другие внешние условия). То есть генератор с кварцевой стабилизацией частоты можно применять для очень точного отсчета времени. Лучшие кварцевые часы за сутки "уходят" не более чем на 10^-11 с.

Повышение точности измерений времени связано с использованием физических законов, описывающих периодические процессы в атомах. Появились атомные часы, основанные на неизменности частоты излучения атомов. Секунда определяется как интервал времени, на котором укладывается 9 192 631 830 периодов колебаний излучения, испускаемого атомом изотопа цезия ¹³³Cs.

То есть, как и в случае длины, при измерении больших промежутков времени, мы используем процессы, протекающие в микромире. Специальные экспериментальные системы, созданные в том числе и в России, способны обеспечить работу "часов", убегающих на 1 с за 1 миллион лет.

За единицу массы принята масса одного кубического сантиметра воды определенной чистоты при фиксированных температуре и давлении. Эта единица - грамм.

В физических законах масса присутствует в двух разных независимых видах.

С одной стороны, масса является мерой инертности тела: характеризует способность тела изменять характер своего движения под действием внешних сил. Второй закон Ньютона, связывающий ускорение а, которое приобретает тело под действием силы F, имеет вид

a = k × F, (3.1)

здесь k = 1 / m_ин - коэффициент пропорциональности, m_ин - так называемая инертная масса.

С другой стороны, масса тела может быть определена и по силе притяжения, действующей между двумя телами

26

и определяемой законом всемирного тяготения Ньютона. Такая масса т_гр называется гравитационной.

Сила гравитационного взаимодействия (притяжения) между двумя телами, имеющими массы m_гр и М и находящимися на расстоянии R друг от друга, будет равна

F = G ×

mгрM

R2

. (3.2)

Здесь G - гравитационная постоянная.

Возникает вопрос: равны (эквивалентны) ли инертная и гравитационная массы? Можем ли мы различить, ускоренно двигается тело или находится в гравитационном поле другого тела?

Мы уже умеем измерять интервалы времени и длину. Ускорение тела (изменение скорости в единицу времени), необходимое для измерения инертной массы по (3.1), может быть получено только из этих измерений, Сила может быть определена, в простейшем случае, по растяжению пружины динамометра (то есть с помощью линейки). Тогда можно рассуждать следующим образом (что и сделал Галилей, изучая свободное падение тел).

Рассмотрим два тела. При свободном падении вблизи поверхности Земли первое тело с инертной массой m_1ин движется с ускорением a_1ИH, тогда

m_1ин × a_1ин = G

m1грM

R2

.(3.3а)

Ускорение второго тела определяется соотношением

m_2ин × a_2ин = G

m2грM

R2

.(3.3б)

Здесь М - масса Земли, с которой взаимодействуют тела.

Тогда получим

m1ин × a1ин

m2ин × a2ин

 = 

m1гр

m2гр

.(3.4)

Если все тела около Земли имеют одно ускорение g (g = а₁ = a₂), то отношения инертных масс будут равны отношениям гравитационных масс. То есть, если у какого-либо

27

тела эти массы пропорциональны, то они будут пропорциональны и для всех других тел.

И. Ньютону (1643-1727) удалось установить, что коэффициент пропорциональности равен 1 с точностью до 0,001. В начале XX века точность была повышена до 10^-8. В 1964 году - улучшена еще на три порядка. В настоящее время с помощью исследований, проведенных на искусственных спутниках Земли, совпадение инертной и гравитационной масс установлено с точностью до 10^-16.

То есть гравитационная и инертная массы в пределах точности современного эксперимента совпадают, нет способа их отличить. Этот факт носит название принципа эквивалентности. Но как обстоят дела за пределами точности эксперимента? Вопрос об эквивалентности инертной и гравитационной масс является предметом обсуждения физиков и сегодня.

Из семи основных величин международной системы единиц СИ четыре - масса, длина, время и температура - неразрывно связаны с человеческой деятельностью, поэтому удивительно, что одна из этих величин, температура, оставалась непонятой практически до начала XVIII в. И понадобилось еще 100 лет для формулировки приемлемого определения температуры.

Действительно, даже сегодня, пользуясь термометром, далеко не все могут сказать, что же они измеряют.

Если мы говорим об измерении давления, то понимаем, что оно определяется силой, действующей на единицу площади. Чем больше сила, тем больше (при тех же исходных условиях) давление. А силу легко измерить, используя те или иные физические законы. Мы можем измерить такую характеристику, как плотность, и сравнить ее с плотностью другого тела. Температура же, воспринимаемая нашими органами чувств, является характеристикой весьма расплывчатой. Так, понятия "тепло" и "холодно" субъективны. Они определяются, в частности, состоянием человека.

Проведем эксперимент. Возьмите в руку кусок дерева и кусок металла (или коснитесь металлической и пластмассовой или деревянной поверхности). Какой из них холоднее? Сотни студентов отвечали - металл. Но ведь исходная температура у кусков одинакова. Почему же

28

поверхность дерева кажется теплее, чем металлическая? Это связано с тем, что материалы имеют разные теплофизические свойства (теплоемкость и теплопроводность). Из-за большой теплопроводности металла тепло эффективнее отводится от ладони, что субъективно воспринимается как снижение температуры. Кроме того, проявляются и особенности передачи ощущения тепла в организме человека.

Среди характеристик, описывающих состояние систем, находящихся в тепловом равновесии (отсутствуют потоки энергии), имеется одна, обладающая особым свойством принимать одинаковое значение в различных системах. Она и называется температурой.

Все системы, находящиеся в тепловом равновесии друг с другом, обладают одинаковой температурой. Наоборот, все системы, имеющие одинаковую температуру, будучи приведены в тепловой контакт, окажутся в тепловом равновесии друг с другом. При измерении температуры одна из этих систем - термометр.

Состояние теплового равновесия систем однозначно характеризуется значениями параметров состояния - давления, объема и температуры.

Для расшифровки смысла понятия "температура" потребовалось длительное время. Была создана термодинамика - наука об общих свойствах систем, находящихся в состоянии теплового равновесия, и процессах перехода между этими состояниями. Позже появилась статистическая механика - наука о свойствах систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц.

В основе представлений о температуре к началу XVII в. лежали медицинские трактаты древнеримского врача К. Галена (ок. 130 - ок. 200). Заметим, что почти за два тысячелетия эти представления не изменились, хотя цивилизация ушла далеко в своих знаниях об окружающем мире, развивались ремесла и медицина.

Клиническая термометрия Галена основывалась на идеях Аристотеля: основными началами природы являются абстрактные "принципы" - холод, тепло, сухость и влажность. Комбинируя их попарно и наделяя ими "первичную материю", Аристотель выводил четыре "основных элемента" - землю, огонь, воздух и воду.

29

		СУХОСТЬ
	земля		огонь
ХОЛОД				ТЕПЛО
	вода		воздух
		ВЛАЖНОСТЬ

Это давало Галену основания считать, что люди различаются по соотношению тепла, холода, влажности и сухости. Он использовал эталон "нейтральной температуры" - смесь равных частей кипящей воды и льда (просто подсчитать, что температура такой смеси будет около 10°С). При этом кипящей воде приписывалось четыре градуса (никакого отношения к используемым нами градусам) тепла, льду - четыре градуса холода и нуль - температуре смеси. В то время, вероятно, и появился термин temperatura (лат.) - смешивание в должном отношении.

Более чем через двенадцать (!) столетий, в 1578 году, врач Хаслер Бернский, следуя Галену, приписывал своим лекарственным смесям различные градусы тепла и холода. Для составления своих рецептов он использовал температурную шкалу Галена. По его мнению, жители экваториальных областей имеют четыре градуса тепла, а жители полярных районов - четыре градуса холода. На основании места жительства пациента и составляли смеси лекарств.

В то время не существовало прибора, который можно было бы назвать термометром.

Принято считать, что в 1592 году Галилей обратил внимание на связь между объемом воздуха в замкнутом сосуде и степенью его нагретости - температурой, и предложил устройство для ее измерения - воздушный термометр. Заметим, что свойство воздуха расширяться при нагревании было известно еще во II столетии до нашей эры. Вот роль великого человека - видеть новое в известном!

В XVII веке воздушный термометр стал известным прибором. Воздух в этом приборе являлся термометрическим телом, объектом, по изменению характеристик которого определяли температуру. Обратим внимание на

30

то, что в воздушном термометре мы измеряем объем, то есть пространственную характеристику.

В 1632 году английский биолог Д. Рей (1627-1705) предложил использовать в качестве термометрического тела жидкость - появился первый жидкостный термометр.

Таким образом, к середине XVII века в распоряжении ученых имелись весьма точные приборы для измерения температуры, но не было понятно, что это такое. Не было основы для возможности сравнения показаний различных термометров (имеющих разные размеры, заполненных разными жидкостями) - температурной шкалы.

Первая такая шкала была создана английским естествоиспытателем Р. Гуком (1635-1703). Она распространялась от -7 градусов (соответствующих наибольшему зимнему холоду в Лондоне) до +13 градусов (максимальная летняя жара). Эта шкала получила название шкалы Королевского общества. Создание температурной шкалы позволило вести первые количественные метеорологические наблюдения (вновь заметим, что эти градусы не имеют никакого отношения к сегодняшним).

В 1709-1714 годах немецкий физик Г.Д. Фаренгейт (1686-1736) изготовил термометры с ртутью и спиртом. Кроме того, он разработал метод создания температурной шкалы, основанный на двух фиксированных точках с разбиением интервала между ними на удобное число делений. В конце концов, он предложил шкалу, в которой одной из фиксированных точек была температура тела человека (96°), а второй - температура таяния льда (32°). Появилась температурная шкала Фаренгейта, принятая сегодня в ряде стран, в том числе в США.

В 1730 году французский естествоиспытатель Р.А. Реомюр (1683-1757) создал температурную шкалу, в которой за начало отсчета выбрана температура таяния льда. При изменении температуры на один градус объем спирта менялся на 0,1%. Точка кипения воды приходится в этой шкале на 80°. Шкала Реомюра используется иногда и сегодня. Именно Реомюр в 1734 году первым понял, что термометры со спиртом и ртутью дают разные показания и имеют различные шкалы. То есть показания термометра зависят от термометрического тела.

31

Шведский астроном и физик А. Цельсий (1701-1744) предложил в 1742 году за нуль температурной шкалы принять точку кипения воды при нормальном давлении, а за 100 - точку таяния льда. Шведский естествоиспытатель К. Линней (1707-1778) переставил точки 0 и 100 на шкале Цельсия. И сегодня мы используем эту шкалу в своей обыденной жизни. Один градус по Фаренгейту равен 5/9 градуса по Цельсию.

В это же время француз Г. Амонтон (1663-1705) пришел к выводу, что самая низкая температура должна соответствовать нулевому давлению газа. Созданная им температурная шкала имела значительно более глубокий физический смысл, чем наиболее известная в то время шкала Фаренгейта.

Таким образом, возникли два направления в термометрии. Первое связано с созданием все более точных и удобных практических шкал, построенных по принципу, заложенному Фаренгейтом (таблица 3.1). Второе направлено на развитие газовой термометрии и физики тепловых процессов (термодинамики), создание абсолютной термодинамической шкалы температуры (шкалы Кельвина). Именно эта температурная шкала определяется не произвольным, пусть и удачным, выбором исследователя, а природой физических процессов.

Первый путь привел к созданию приборов для измерения температуры (термометров сопротивления,

Таблица 3.1

Сопоставление температурных шкал

Реперная точка	Температурная шкала Цельсия,°C	Температурная шкала Фаренгейта, °F	Абсолютная шкала температур, К
Тройная точка воды (равновесие льда, воды и водяного пара при нормальном давлении 760 мм рт. ст)	0	32	273,15
Температура кипения воды	100	212	373,15
Абсолютный нуль температуры	-273,15	-459	0

32

термопар и т.п.). Второй - к пониманию физических процессов в газах, формированию представлений о том, что же такое температура. К концу XIX века сформировались современные представления о температуре, стало ясно, что температура системы большого числа частиц, находящихся в тепловом равновесии, определяется кинетической энергией частиц.

Применяя для определения таких понятий, как время, длина, масса, физические законы, мы не можем быть до конца уверены в абсолютной правильности этих законов во всей Вселенной и в любой момент существования Вселенной.

На самом деле, предположим, что скорость света постепенно меняется со временем. Это должно привести к изменению принятых эталонов длины и времени. Сегодня не существует никаких экспериментальных свидетельств изменения физических констант со временем, однако это не исключает возможности их очень медленного изменения за пределами существующей точности измерений.

Точность измерений, какова она должна быть? Если приятель опаздывает на несколько минут - неприятно, но можно простить. Но пусть наша система измерения времени обеспечивает стыковку космических аппаратов. Их скорость относительно поверхности Земли около 8000 м/с. Тогда при ошибке в определении времени 0,001 с ошибка в пространстве составит, по крайней мере, 8 м. С другой стороны, при определении точности, необходимой в каждом конкретном случае, встает и вопрос о стоимости измерительной системы. Стоимость возрастает быстрее точности.

В 1927 году В. Гейзенберг (1901-1976) сформулировал принцип неопределенности, утверждающий, что любая физическая система не может находиться в состояниях, в которых координаты ее центра масс и скорости (или импульс - произведение скорости на массу) принимают одновременно вполне определенные точные значения. Если Δx - погрешность (неопределенность) значения координаты, а Δр - неопределенность значения импульса, то их произведение не должно быть меньше некоторой постоянной величины (постоянной Планка h):

33

Δр × Δx ≈ h.(3.5)

Принцип неопределенности существенен для явлений микромира. Именно он определяет естественный предел точности измерений. Кроме того, в микромире оказывается принципиальным и то, что любое измерение - это взаимодействие изучаемого объекта с измерительным прибором. И при измерениях прибор вносит изменения в изучаемый объект. В лекции 7 мы подробнее рассмотрим этот вопрос.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Вы пришли в магазин покупать ткань. Проанализируйте этот процесс с точки зрения представлений об измерении.
2. Насколько корректны сочетания "космический холод" или "космическая жара", часто используемые журналистами?
3. Все знают об известной винтовке "трехлинейке". Каков ее калибр в миллиметрах?
4. Перечислите измерительные приборы, которыми вы пользуетесь в быту. Что вы можете сказать об их точности? Надо ли ее увеличивать? Какова будет стоимость этого?
5. Оцените, на сколько "убегут" самые точные маятниковые и кварцевые часы за 1 год. А ваши часы?

34