2.3. Линейный осциллятор. Определение сейсмических сил.
Спектры ускорений, скоростей и смещений.
Спектральная кривая

2.3.1. Дифференциальные уравнения движения
линейного осциллятора

Одномассовая система (рис. 2.5, а) при условии, что невесомый стержень, поддерживающий массу, является линейно деформируемым, носит название линейного осциллятора. При этом колебательный процесс может рассматриваться как в виде незатухающих колебаний (консервативная система), так и в виде затухающих колебаний (неконсервативная система).

25

Рис. 2.5. Расчетная схема линейного осциллятора
Рис. 2.5. Расчетная схема линейного осциллятора

Рассмотрение колебательного процесса имеет фундаментальное значение как в динамике сооружений, в общем, так и в сейсмике, в частности, поскольку позволяет выявить основные закономерности протекания этого процесса, так или иначе проявляющиеся в случае более сложных расчетных схем.

Рассмотрим основные подходы к постановке задачи расчета линейного осциллятора на сейсмические воздействия в том линейного осциллятора простейшем случае, когда это воздействие

моделируется горизонтальным перемещением основания, происходящим по заданному закону Δ = Δ( t), а система имеет одну степень свободы, определяемую горизонтальным перемещением сосредоточенной массы (рис. 2.5, б).

Полное перемещение массы т в любой момент времени Z(t) складывается из переносного перемещения Δ (t) и относительного перемещения z(t), вызванного изгибом стержня (рис. 2.5, б):

Z(T)=Δ(t)+z(t)(2.4)

Как известно, в динамике сооружений существуют два основных метода составления уравнений движения - метод сил и метод перемещений.

Используя метод сил, в основу составления уравнения движения положим равенство (2.4). Вводя в рассмотрение перемещение б массы в горизонтальном направлении, вызванное действием единичной силы и учитывая, что инерционная сила, возникающая при колебаниях, может быть представлена в виде:

S = -mz..(t)(2.5)

(здесь, как обычно, точками обозначены производные по времени), из 2.4 получаем:

z(t) = Δ(t) - δmz..(t).(2.6)

Отсюда следует:

δm z..(t)+z(t) = Δ(t).(2.7)

Если вспомнить, что для консервативной системы с одной степенью свободы δm = 1/ω2, где ω - частота собственных (в данном случае - свободных) колебаний, то уравнение (2.7) легко представить в виде:

z..(t) + ω2z(t) = ω2Δ(t).(2.8)

Уравнение (2.8) является уравнением движения системы, записанным относительно полного перемещения массы. С помощью (2.4) это уравнение

26

можно представить в виде, когда искомой функцией будет являться относительное перемещение z(t):

z.. (t) + ω2z(t) = - Δ..(t)(2.9)

Теперь составим уравнение движения, применяя метод перемещений. Схема остается прежней (рис. 2.5), только к инерционной силе следует добавить восстанавливающую силу (силу упругости), равную rz(t), где r= 1/δ представляет собой жесткость линейного осциллятора. Составляя уравнение равновесия массы, с учетом (2.4) имеем

m.. (t) + z..(t)] + rz(t) = 0

Подставляя сюда r/m = 1/mδ = ω2, получаем уравнение

z..(t)+ (ω2z(t) = - Δ..(t),

полностью совпадающее с уравнением (2.9).

Здесь следует обратить внимание на то обстоятельство, что в качестве внешнего воздействия могут быть использованы известные функции изменений во времени либо перемещений, что свойственно постановкам динамических задач при возбуждении кинематического типа [18], либо ускорений, что характерно для постановки задач сейсмостойкости сооружений.

В случае учета диссипации энергии при составлении уравнений движения должны дополнительно учитываться силы сопротивления.

Опуская подробности, известные из курса динамики сооружений, отметим, что в практике сейсмических расчетов неконсервативных систем в настоящее время наиболее часто применяются две модели учета сил сопротивления - по гипотезе Фойгта и по гипотезе Е.С. Сорокина.

Напомним, что по гипотезе вязкого сопротивления Фойгта силы сопротивления пропорциональны скорости перемещений Ф = βz.(t), где β - коэффициент пропорциональности, определяемый, вообще говоря, путем экспериментальных исследований. В этом случае дифференциальное уравнение движения линейного осциллятора записывается в виде:

z..(t)+2α z. (t) + ω2z(t) = - Δ.. (t),(2.10)

где 2α = β / m.

Согласно гипотезе неупругого сопротивления Е.С. Сорокина, применяемой для расчета строительных конструкций, неупругое сопротивление при нагружении гармонического типа определяется зависимостью [17]:

Ф(t) = (1+iγ)rz(t),(2.11)

где Ф(t), z(t) - усилие и перемещение, представляемое в комплексной форме; γ - коэффициент неупругого сопротивления; r -жесткость линейного осциллятора; i - мнимая единица i = √-1.

27

При формулировке зависимости (2.11) считается, что комплексные величины Ф и z определяются так, что их действительные части совпадают с реально принимаемыми физическими параметрами Ф и z, а их мнимые части являются комплексно сопряженными. В практических расчетах это отражается в том, что действительные части выражения (2.11) принимаются по косинусоидальному закону, а мнимые части - по синусоидальному.

В этих обозначениях дифференциальное уравнение движения системы с одной степенью свободы представляется в виде:

z.. (t)+(1+iγ) z(t)= - Δ.. (t)(2.12)

При этом предполагается, что заданная функция Δ(t) разлагается в ряд Фурье; этот ряд и сопряженный ему ряд Фурье образуют действительную и мнимую части комплексной переменной Δ..(t). Формально решения уравнений (2.10) и (2.12) оказываются похожими друг на друга. Решение уравнения (2.10) имеет вид:

z(t) = e -α t (C1 sin ω1 t + C2 cosω1 t) -
 -  1   t0  Δ.. (τ)e-α(t-τ) sinω1 (t - ω) dτ
 1 
(2.13)

где ω 1=√ω2 - α2.

Действительное решение комплексного уравнения (2.12) записывается в виде

z(t) = e
 -  γω1  t
2
(C1 sin ω1 t + C2 cosω1 t) -

 -  1   t0  Δ..(τ)e
 -  γω1  (t - τ)
2
sin ω1 (t - τ)dτ
ω1
(2.14)

Интегралы в (2.13) и (2.14), определяющие частные решения соответствующих дифференциальных уравнений, называются интегралами Дюамеля .

Эксперименты показывают, что коэффициенты α и γ имеют достаточно малые значения, поэтому с требуемой в практических расчетах точностью в выражениях (2.13) и (2.14) можно считать, что ω≈ω1≈ω, т.е. частота свободных колебаний системы с затуханием равна частоте свободных колебаний ее без затухания.

28

Нетрудно видеть, что при 2α = γω решения (2.13) и (2.14) совпадают. Это позволяет с равным основанием применять обе гипотезы при исследовании конкретной системы, характеристики которой определены опытным путем. Вместе с тем надо помнить, что гипотезы Фойгта и Е.С. Сорокина предполагают различие в составлении зависимостей между частотой колебаний и характеристиками затухания, что в случае системы со многими степенями свободы может привести к качественному различию результатов.

29

Rambler's Top100
Lib4all.Ru © 2010.