4.3.2. Определение частот и форм собственных колебаний
с помощью программы "RADIUS"

Здесь приведены примеры определения частот и форм собственных колебаний балки и плоской рамы с помощью программы "RADIUS". Примеры были подобраны так, чтобы, с одной стороны, протестировать результаты расчета, получаемые по программе "RADIUS", и убедиться в их достоверности, а с другой стороны, проиллюстрировать возможности этой программы в задачах определения частот и форм собственных колебаний.

Кроме того заметим, что перед любым динамическим расчетом, вообще говоря, рекомендуется определять частоты и формы собственных колебаний с тем, чтобы проверить правильность модели конструкции, оценить порядок частот и установить геометрическую адекватность форм колебаний рассматриваемой конструкции.

Пример 1. Для шарнирно опертой балки длиной l, спектр частот определяется следующим аналитическим выражением:

где п - номер частоты, т - погонная масса.

Примем l = π, E = J = m= 1, тогда ω_n = п². Таким образом, точные значения собственных частот колебаний известны.

Применяя программу "RADIUS", разобьем сначала балку на 16 участков. Вычисления дают следующие результаты:

Теперь нетрудно оценить погрешность полученных решений. Наибольшая погрешность в данном случае получается при вычислении ω₉ (Δ=1,31%). Вычисленные формы собственных колебаний приведены на рис. 4.4 - 4.6. (экранные распечатки).

68

Рис. 4.4. Форма собственных колебаний балки при n=1 (16 участков)

Рис. 4.5. Форма собственных колебаний балки при n=4 (16 участков)

Рис. 4.6. Форма собственных колебаний балки при п=9 (16 участков)

69

При разбиении балки на четыре участка, вычисления по программе "RADIUS" дают следующие результаты:

ω₁ = 0,99977 с^-1;
ω₂ = 3,9713 с^-1;
ω₃ = 8,4319 с^-1.

Соответствующие формы собственных колебаний приведены на рис. 4.7 - 4.9.

Анализ полученных данных подтверждает уже известный факт, что точность результатов вычислений возрастает с увеличением степени дискретизации конструкции.

Вместе с тем, при вычислении низших частот даже достаточно грубая дискретизация дает удовлетворительные результаты. Вычисления по программе "RADIUS" показали, что сложные и крупные сооружения, состоящие из большого количества элементов, нет нужды делить на еще более мелкие элементы, так как стягивание распределенных масс в узлы сооружения позволяет получать практически точные результаты по первым частотам и формам. Если же необходим учет высших форм, то стержневые элементы требуют дополнительного разбиения путем введения дополнительных узлов.

Пример 2. В этом примере рассматривалась плоская П-образная рама с сосредоточенными массами М= 100, расположенными в узлах рамы. Исследовались пространственные колебания этой рамы. На рис. 4.10-4.15 показаны первые шесть форм собственных колебаний рамы; здесь же приведены значения круговых и технических частот.

Наиболее примечательным здесь является то обстоятельство, что в пространственной постановке наименьшая частота соответствует колебаниям "из плоскости" рамы, тогда как плоскостному расчету соответствует вторая частота (рис. 4.11).

Третья форма колебаний П-образной рамы (см. рис. 4.12) определяет крутильные колебания; четвертая форма (см. рис. 4.13) -осевые колебания. Последующие две формы (см. рис. 4.14 и рис. 4.15) можно определить как формы изгибно-осевые.

Заметим, что полученные результаты существенно отличаются от результатов привычного плоскостного расчета рассматриваемой рамы. Это объясняется спецификой программы "RADIUS", учитывающей осевые перемещения элементов и пространственный характер колебаний.

70

Рис. 4.7. Форма собственных колебаний балки при п=1 (4 участка)

Рис. 4.8. Форма собственных колебаний балки при п=2 (4 участка)

Рис. 4.9. Форма собственных колебаний балки при n=3 (4 участка)

71

Рис. 4.10. Первая форма собственных колебаний рамы

Рис. 4.11. Вторая форма собственных колебаний рамы

72

Рис. 4.12. Третья форма собственных колебаний рамы

Рис. 4.13. Четвертая форма собственных колебаний рамы

73

Рис. 4.14. Пятая форма собственных колебаний рамы

Рис. 4.15. Шестая форма собственных колебаний рамы

74