4.3. Свободные колебания

Исследованию свободных колебаний системы с конечным числом степеней свободы здесь уделено особое внимание по следующим двум причинам.

Во-первых, любой сейсмический расчет полезно предварить определением спектра частот и форм собственных колебаний конструкции для глобальной оценки её поведения, а также для подбора соответствующих акселерограмм землетрясений, вызывающих наиболее неблагоприятные последствия.

Во-вторых, подробный анализ собственных колебаний позволит затем легко получить разрешающие уравнения метода модальной суперпозиции, лежащей в основе данной программы МКЭ.

4.3.1. Частоты и формы собственных колебаний

Для исследования свободных колебаний применяем уравнения движения, следующие из (4.3) при С = 0 и Р→ = 0:

М Z..→ + КZ→ = 0.(4.6)

Будем исходить из того, что свободные колебания системы с конечным числом степеней свободы п являются гармоническими:

Z→(t) = i=1∑n  V→ sin(ω_it+φ_0i), (i=1, 2,..., n) (4.7)

где параметр ω_i определяет частоту колебаний, а φ_0i - начальную фазу колебаний.

Подставляя (4.7) в (4.6), после сокращения на sin(ω_it+φ_0i) получаем

(K - ω_i²M)V→_i.(4.8)

65

Выражение (4.8) описывает п систем однородных линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных векторов V→_i. Векторы V→_i составляют матрицу V:

V = |V→₁ V→₂ ... V→_n| =

V11	V12	. . .	V1n
V21	V22	. . .	V2n
. . .	. . .	...	. . .
Vn1	Vn2	. . .	Vnn

(4.9)

Условием существования нетривиального решения системы уравнений (4.8), как известно, является условие:

det|K - ω_i²M| = 0(4.10)

Раскрывая определитель (4.10), получаем алгебраическое уравнение n-ой степени относительно ω_i², решение которого дает спектр частот собственных колебаний системы: ω₁²,ω₁²,...,ω_n².

Затем для каждой собственной частоты колебаний из решения системы уравнений (4.8) при V_1i =1 определяются формы собственных колебаний

V→_i = |1 V_2i V_3i V_ni|

Этот подход достаточно хорошо известен из курса динамики сооружений и был использован выше в примерах решения задач.

В программе "RADIUS" для решения задачи на собственные значения использован метод обратной итерации в сочетании с методом "ловли льва в пустыне", подробно описанный в пособии [25].

Рассмотрим i-ую форму собственных колебаний, в которой по определению (4.7) вектор перемещений имеет следующий вид:

Z→_i =V→_isin(ω_i(t)-φ_0i). (4.11)

Тогда амплитудные значения вектора перемещений Z→ и вектора инерционных сил J→_i будут определяться следующими выражениями

Z→_i = V→_i; J→_i = ω_i²MV→_i(4.12)

Для j-ой формы соответственно будем иметь:

Z→_j = V→_j; J→_j = ω_j²MV→_j(4.13)

Рассматривая эти состояния как взаимно возможные, применим теорему Бетти:

J→_i^T V→_j = J→_j^TV→_i(4.14)

Заменяя в (4.14) инерционные силы по (4.12) и (4.13), получаем

ω_i²V→_i^TM^TV→_j = ω_j²V→_j^TM^TV→_i(4.15)

66

Учитывая, что для симметричной матрицы масс М = М^T , а также, что произведение V→_j^TM^T V→_i является скаляром, выражение для которого равно своему транспонированному выражению, запишем

V→_j^TM^T V→_i = (V→_j^TM^T V→_i)^T = V→_i^TMV→_j

На основании этого равенство (4.15) запишем в виде

(ω_i² - _j²)V→_i^TM^T V→_j = 0(4.15,a)

Поскольку ω_i≠ω_j (случай частных корней исключается), из (4.15,а) следует условие

V→_i^TM^T V→_j = 0(4.16)

которое назовем первым условием обобщенной ортогональности собственных форм колебаний. В частности, если матрица масс М является диагональной, выражение (4.16) может быть записано в виде выражения (2.41):

k=1∑n m_kV_kiV_kj = 0(4.16)

Запишем теперь (4.8) в виде

KV→_i = ω_i²M V→_i(4.17)

Умножая слева это равенство на вектор V→_j^T, получаем

V→_j^TKV→_i = ω_i²V→_j^TMV ^→_i(4.18)

Учитывая, что

V→_j^TMV→_i = V→_i^TKV→_j

из (4.18) получаем второе условие обобщенной ортогональности собственных форм колебаний:

V→_j^TKV→_i = V→_i^TKV→_j = 0(4.19)

Физический смысл полученных выше условий ортогональности легко понять, если вспомнить, что уравнение (4.6) устанавливает равенство внешних и внутренних сил. Тогда первое условие обобщенной ортогональности (4.16) выражает равенство нулю возможной работы внешних (инерционных) сил, возникающих при i-ой форме колебаний на перемещениях j-ой формы, а условие (4.19) есть равенство нулю возможной работы внутренних сил (сил упругости), возникающих при i-ой форме колебаний на перемещениях j-ой формы.

67