4.3. Свободные колебания

Исследованию свободных колебаний системы с конечным числом степеней свободы здесь уделено особое внимание по следующим двум причинам.

Во-первых, любой сейсмический расчет полезно предварить определением спектра частот и форм собственных колебаний конструкции для глобальной оценки её поведения, а также для подбора соответствующих акселерограмм землетрясений, вызывающих наиболее неблагоприятные последствия.

Во-вторых, подробный анализ собственных колебаний позволит затем легко получить разрешающие уравнения метода модальной суперпозиции, лежащей в основе данной программы МКЭ.

4.3.1. Частоты и формы собственных колебаний

Для исследования свободных колебаний применяем уравнения движения, следующие из (4.3) при С = 0 и Р = 0:

М Z.. + КZ = 0.(4.6)

Будем исходить из того, что свободные колебания системы с конечным числом степеней свободы п являются гармоническими:

Z(t) = i=1n  V sin(ωit+φ0i), (i=1, 2,..., n) (4.7)

где параметр ωi определяет частоту колебаний, а φ0i - начальную фазу колебаний.

Подставляя (4.7) в (4.6), после сокращения на sin(ωit+φ0i) получаем

(K - ωi2M)Vi.(4.8)

65

Выражение (4.8) описывает п систем однородных линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных векторов Vi. Векторы Vi составляют матрицу V:

V = |V1 V2 ... Vn| =
 V11 V12 . . . V1n 
V21 V22 . . . V2n
. . . . . . ... . . .
Vn1 Vn2 . . . Vnn
(4.9)

Условием существования нетривиального решения системы уравнений (4.8), как известно, является условие:

det|K - ωi2M| = 0(4.10)

Раскрывая определитель (4.10), получаем алгебраическое уравнение n-ой степени относительно ωi2, решение которого дает спектр частот собственных колебаний системы: ω1212,...,ωn2.

Затем для каждой собственной частоты колебаний из решения системы уравнений (4.8) при V1i =1 определяются формы собственных колебаний

Vi = |1 V2i V3i Vni|

Этот подход достаточно хорошо известен из курса динамики сооружений и был использован выше в примерах решения задач.

В программе "RADIUS" для решения задачи на собственные значения использован метод обратной итерации в сочетании с методом "ловли льва в пустыне", подробно описанный в пособии [25].

Рассмотрим i-ую форму собственных колебаний, в которой по определению (4.7) вектор перемещений имеет следующий вид:

Zi =Visin(ωi(t)-φ0i). (4.11)

Тогда амплитудные значения вектора перемещений Z и вектора инерционных сил Ji будут определяться следующими выражениями

Zi = Vi; Ji = ωi2MVi(4.12)

Для j-ой формы соответственно будем иметь:

Zj = Vj; Jj = ωj2MVj(4.13)

Рассматривая эти состояния как взаимно возможные, применим теорему Бетти:

JiT Vj = JjTVi(4.14)

Заменяя в (4.14) инерционные силы по (4.12) и (4.13), получаем

ωi2ViTMTVj = ωj2VjTMTVi(4.15)

66

Учитывая, что для симметричной матрицы масс М = МT , а также, что произведение VjTMT Vi является скаляром, выражение для которого равно своему транспонированному выражению, запишем

VjTMT Vi = (VjTMT Vi)T = ViTMVj

На основании этого равенство (4.15) запишем в виде

i2 - j2)ViTMT Vj = 0(4.15,a)

Поскольку ωi≠ωj (случай частных корней исключается), из (4.15,а) следует условие

ViTMT Vj = 0(4.16)

которое назовем первым условием обобщенной ортогональности собственных форм колебаний. В частности, если матрица масс М является диагональной, выражение (4.16) может быть записано в виде выражения (2.41):

k=1n mkVkiVkj = 0(4.16)

Запишем теперь (4.8) в виде

KVi = ωi2M Vi(4.17)

Умножая слева это равенство на вектор VjT, получаем

VjTKVi = ωi2VjTMVi(4.18)

Учитывая, что

VjTMVi = ViTKVj

из (4.18) получаем второе условие обобщенной ортогональности собственных форм колебаний:

VjTKVi = ViTKVj = 0(4.19)

Физический смысл полученных выше условий ортогональности легко понять, если вспомнить, что уравнение (4.6) устанавливает равенство внешних и внутренних сил. Тогда первое условие обобщенной ортогональности (4.16) выражает равенство нулю возможной работы внешних (инерционных) сил, возникающих при i-ой форме колебаний на перемещениях j-ой формы, а условие (4.19) есть равенство нулю возможной работы внутренних сил (сил упругости), возникающих при i-ой форме колебаний на перемещениях j-ой формы.

67

Rambler's Top100
Lib4all.Ru © 2010.