3.2.1. Определение частот и форм собственных колебаний

Решение системы уравнений (3.12.) ищем в виде:

Z₁ = a₁sinωt;   Z₂ = a₂sinωt;   Z₃ = a₃sinωt,(3.13)

где а₁, а₂, a₃- амплитудные коэффициенты; ω - частота колебаний.

Подставляя (3.13) в (3.12), получаем систему однородных алгебраических уравнений.

(r₁₁ - ω²m₁) a₁ + r₁₂a₂ + r₁₃a₃ = 0
r₂₁a₁ + (r₂₂ - ω²m₂)a₂ + r₂₃a₃ = 0
r₃₁a₁ + r₃₂a₁ + (r₃₃ - ω²m₃)a₃ = 0(3.14)

54

Вычисляя коэффициенты системы канонических уравнений метода перемещений r_ik, имеем

r₁ = r;  r₂₂ = r₃₃ = 2r;   r₁₂ = r₂₃= - r;   r₁₃ = 0,(3.15)

где r = 4i/3=16EJ/9.

Введем параметр λ = ω²т/r.

Тогда с учетом принятых обозначений система уравнений (3.14) может быть представлена в виде:

(1 - λ) a1	-	a2		= 0
-a1	+	2 (1 - λ) a2	-	a3 = 0
	-	a2	+	(2 - 3λ) a3 = 0

(3.16)

Как обычно, для вычисления собственных значений системы однородных уравнений (3.16) используем условие равенства нулю определителя, составленного из коэффициентов этой системы [27]:

(1 - λ)	-1	0
-1	2(1 - λ)	-1
0	-1	(2 - 3λ)

 = 0(3.17)

Раскрывая этот определитель, получаем кубическое уравнение относительно искомого параметра λ:

6λ³ -16λ² + 10λ - 1 = 0.(3.18)

Корни кубического уравнения (3.18), которые, как это известно из общего курса динамики сооружений, являются положительными действительными числами, могут быть вычислены по стандартным программам на ЭВМ или калькуляторах.

Здесь для иллюстрации приведем один из способов нахождения корней уравнения (3.18), приспособленный для ручного счета.

Для нахождения первого корня λ₁ уравнения (3.18) применяем итерационный метод. Первое приближение λ₁⁽¹⁾ принимаем в виде отношения последних коэффициентов уравнения (3.18)

λ₁⁽¹⁾ = 1/10 = 0,1.

Подставляя это значение λ = λ₁⁽¹⁾ в уравнение (3.18) и обозначая его левую часть через A= 6λ³-16λ²+ 10λ-1=0, находим А ⁽¹⁾ = -0,154.

Для второй итерации принимаем λ₁⁽²⁾ =0,15. В этом случае имеем

А⁽²⁾ = 0,160. Очевидно, истинное значение корня λ₁ заключено в интервале 0,1 ≤ λ₁ ≤ 0,15.

55

Продолжая итерационный процесс, в пятом приближении получаем λ₁⁽⁵⁾= 0,123; при этом A ⁽⁵⁾ = -0,001.

Понятно, что продолжая этот итерационный процесс, можно обеспечить сколь угодно высокую точность вычисленияλ₁.

Принимая λ = 0,123, разделим уравнение (3.18) на множитель (λ - 0,123). В таком случае получаем квадратное уравнение

6λ² - 15,262λ + 8,123 = 0,

корни которого легко вычисляются:

λ₂ = 0,758;                               λ₃=1,786.

Для проверки правильности вычисления корней уравнения (3.18), приводим определитель (3.17) к виду

|D-λE| =

(1 - λ)	-1	0
- 1 2	(1 - λ)	- 1 2
0	- 1 3	( 2 - λ) 3

 = 0

где Е - единичная диагональная матрица.

Здесь должно выполняться условие ∑λ_i = S_D , где

∑λ_i = 0,123 + 0,758 + 1,786 = 2,667

- сумма корней уравнения (3.18);

S_D = 1 + 1 + 2/3 = 2,667

- след матрицы D, равный сумме диагональных элементов этой матрицы.

Возвращаясь к введенным выше обозначениям параметров λ и r, вычисляем частоты собственных колебаний по формуле

ωi =	√	λi r
		m

(3.19)

где E=2,7·107кН/м2; J =	bh3	=	0,3·0,33	= 0,000675м4
	12		12

Имеем:

ω₁ = 6,313 сек^-1;   ω₂= 15,67 сек^-1;   ω₃= 24,05 сек^-1.

Отсюда находим периоды колебаний: T_i = 2π/ω_i:

T₁ = 0,995 сек;   Т₂ = 0,401 сек;   Т₃ = 0,261 сек;

56

Определение форм собственных колебаний

Определение форм собственных колебаний производим по методике, известной из общего курса динамики сооружений и использованной в предыдущем примере.

Находим:

V→1 =	{	1	};	V→2 =	{	1	};	V→3 =	{	1	},
		0,877				0,242				-0,786
		0,538				-0,883				0,236

(3.20)

где Z^→_i- векторы, определяющие i-ую форму колебаний.

Проверяем ортогональность форм собственных колебаний по формуле(2.42)

k=1∑n

mkVikVjk = 0

Например, для первой и второй форм имеем:

т (1·1·1 + 2·0,877·0,242 – 3·0,538·0,883) = 0,0007≈ 0.

Аналогично проверяется ортогональность первой и третьей, второй и третьей форм.

57