3. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ЗДАНИЯ НА
СЕЙСМИЧЕСКИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ

3.1. Нормативный расчет

В качестве примера расчета было выбрано реальное трехэтажное здание. Расчетная схема принималась в виде консольного стержня с массами, сосредоточенными в уровнях перекрытий и покрытия (рис. 3.1), т.е. в виде трехмассовой системы:

m ₁= m₂=802,4т;

m₃=730,5т.

Высота этажа принималась равной 8,25 м. Тогда h₁ = 8,25 м; h₂ = 16,5 м; h ₃ = 24,75 м .

Модуль упругости консольного стержня: EJ=19,321¸10⁷Кн·м².

Здесь же на рис. 3.1 показаны расчетные сечения, для которых надлежит вычислить значения внутренних усилий.

3.1.1. Определение собственных частот и
собственных форм колебаний

Собственные частоты определяем с помощью векового уравнения, получаемого из определителя

Коэффициенты матрицы податливости λ_ik можно определять известным способом путем "перемножения" эпюр изгибающих моментов, построенных для консольного стержня от действия единичных значений сил
S_i= 1 (i=1,2,3).

В этом случае для вычисления коэффициента λ_ik могут быть рекомендованы следующие формулы:

- при i = j δ_ii = (h_i) ³/ 3 EJ;

- при i < j δii =	hi	[2 hi hj + hi(hj - hi)]
	6 EJ

- при i > j δii =	hi	[2 hi hj + hi(hj - hi)]
	6 EJ

(3.2)

48

Подсчитывая эти коэффициенты, получаем следующую матрицу податливости (м/Н):

Раскрывая определитель (3.1), получаем кубическое уравнение относительно параметра А,

L = δ =

9,678·10-10	2,422·10-9	3,875·10-9
2,422·10-9	7,75·10-9	1,356·10-8
3,875·10-9	1,356·10-8	2,616·10-8

(3.3)

Раскрывая определитель (3.1), получаем кубическое уравнение относительно параметра λ

a₃λ³ - a₂λ² + a₁λ + a₀ = 0 (3.4)

где а₀ = 1,39·10^-9; а₁= 1,811·10^-5; a₂ = 0,026; a₃= 1.

Решая уравнение (3.4), находим

λ₁ = 0,025; λ₂= 6,233·10^-4; λ₃= 8,781·10^-5.

Тогда собственные частоты, определяемые по формуле ω_i = √1/λ_i; оказываются равными (рад/с):

ω₁ = 6,276; ω₂= 40,056; ω₃= 106,714.

Соответствующие периоды собственных колебаний, вычисляемые по формуле T_i = 2π/ω_i (с.), равны

T₁ =1,0; T₂=0,157; T₃ =0,059.

Вычисляя собственные векторы матрицы (3.1), находим

V→₁^T={0,157 0,533 1,0}
V→₂^T={-1,172 -1,364 1,0}
V→₃^T={4,212 -2,951 1,0}  

Формы собственных колебаний, соответствующие этим векторам, показаны на рис. 3.2.

49

По формуле (2.75) подсчитываем нормированные коэффициенты форм η_ik. Например,

η11 =	0,157(802,4·0,157+802,4·0,533+730,5·1,0	= 0,206
	802,4·0,1572+802,4·0,5332+730,5·1,02

и т.д. Матрица нормированных коэффициентов форм колебаний приведена ниже:

η =

0,206	0,406	0,334
0,699	0,535	-0,234
1,313	-0,392	0,073

(3.6)

Вычисленные значения нормированных коэффициентов форм, как нетрудно убедиться, удовлетворяют условию (2.76).

50