2.5.3. Определение сейсмических нагрузок
для системы с п степенями свободы
(нормативный метод)

Нормативный метод определения сейсмических нагрузок опирается на использование понятия спектральных кривых, введенных ранее для линейного осциллятора. Прежде чем приступить к изложению этого метода, необходимо оговорить следующее.

Во-первых, по традиции, берущей начало в самых первых работах по сейсмическим расчетам (а затем и вошедшей и в нормативные документы), следует изменить индексацию амплитудных коэффициентов формы колебаний: теперь первый индекс будет обозначать номер формы колебаний, а второй - номер сосредоточенной массы.

Во-вторых, предполагается, что учет сил сопротивления при определении частот и форм собственных колебаний системы с п степенями свободы не оказывает существенного влияния на результаты расчета, и поэтому данные параметры могут быть определены как для консервативной системы.

Вместе с тем учет сил сопротивления необходим при построении спектров ускорений (скоростей, смещений), так как в спектральной теории

40

предполагается определение максимальных значений этих параметров по каждой форме колебаний, а эти максимумы достигаются, как известно, в резонансной зоне, где учет сил сопротивления играет решающую роль.

Если следовать гипотезе неупругого сопротивления Е.С. Сорокина, то уравнения движения (2.38), (2.39) должны быть записаны в комплексной форме:

MX..* + (1 + γi )KX* + Ф = - MΔ..*,(2.38,а) LMX..* + (1 + γi )X* + LФ = - LMΔ..*(2.39,а)

Здесь звездочками отмечены комплексные функции; i- мнимая единица

При использовании метода разложений по собственным формам колебаний теперь вместо уравнений (2.57) имеем:

q..*i + (1 + γ i i2qi* = -(Qi* / Mi)(2.58)

Заметим, что выражению (Qi* / Mi) можно придать другую форму, используемую в нормативном методе. С учетом формул (2.51) и (2.55) имеем:

Qi  = Δ..(t)  j=1n mj Xij  = Di Δ..(t)
Mi  j=1nmj X2ij 
(2.59)

где Di представляют собой коэффициенты разложения единичного вектора по собственным векторам системы (собственным формам колебаний).

С учетом этого решение уравнения (2.58) при нулевых начальных условиях (действительная часть комплексной функции), определяющее обобщенную координату qi, отвечающую i-ой форме колебаний по аналогии с (2.27) может быть записано в виде

qi = - Di   t0 Δ..(τ)e
 -  γω1  (t - τ)
2
sin ωi (t - τ) d τ
ωi
(2.60)

Один из основных недостатков теории неупругого сопротивления Сорокина состоит в неудобстве использования комплексных функций при численном интегрировании уравнений движения (2.58). Поэтому в этом случае чаще прибегают к гипотезе вязкого сопротивления с соответствующим образом введенной матрицей демпфирования, определяющей вектор сил сопротивления.

Ф = ÑX..(2.61)

Обращаясь к предыдущему пункту, нетрудно заметить, что распадение связанной системы уравнений движения (2.38) на отдельные уравнения

41

(2.58) стало возможным только лишь вследствие того, что матрица масс и матрица жесткости приводится к диагональному виду с помощью одного и того же преобразования.

Следовательно, для того, чтобы и матрица демпфирования тоже приводилась к диагональному виду достаточно, как это было указано Рэлеем, представить ее в виде линейной комбинации этих матриц

C = β1K + β1M(2.62)

Действительно, в этом случае уравнения движения записываются в виде

M X.. + (β1K + β1M)X. + KX = - MΔ..(2.63)

и производя преобразования, описанные выше, получаем:

q..i + (β1ωi2 + β2)q.i + ωi2qi = - DiΔ..(2.64)

Коэффициенты матрицы демпфирования Рэлея (2.62) подбираются из условия, чтобы для двух характерных форм колебаний с частотами ωi и ωj и известными коэффициентами сопротивления выполнялись условия равенства быстроты затухания колебаний:

i = β1ωi2 + β2 = γiωi
j = β1ωj2 + β2 = γjωj
(2.65)

Если следовать теории неупругого сопротивления, то γij Вместе с тем выражения (2.65) приближенно учитывают суммарный эффект демпфирования для каждой формы колебаний, который может быть различным для различных форм [18].

Теперь с учетом введенных обозначений решение уравнений (2.64) для i- ой обобщенной координаты qi, соответствующее i-ой форме собственных колебаний при нулевых начальных условиях может быть записано в виде:

qi(t) = - Di 0t Δ..(τ)eαi(t - τ) sin ωi (t - τ) dτ
ωi
(2.66)

где α i = γωi/2

Зная амплитудные коэффициенты i-ой формы и соответствующие обобщенные координаты, в соответствии с (2.42) относительное перемещение K-ой массы можно представить в следующем виде:

Xko(t) = i=1n  Xikqi = - i=1n    Di Xik 0tΔ..(τ)ei(t - τ)sin ωi(t - τ) dτ
ωi
(2.67)

42

Полное перемещение K-ой массы с учетом введенных выше коэффициентов D i определяется следующим образом:

Xk(t)= i=1n  Xik[qi(t)+DiΔ(t)]
(2.68)

Тогда ускорение K-ой массы будут равны

Wk(t) = X..k(t) = i=1 Xik[q..i(t)+DiΔ..(t)]
(2.69)

Теперь можно вычислить инерционную (сейсмическую) силу, действующую на k-ую массу при колебаниях по i-ой форме

Sik(t)= - mkXik[q..i(t) + DiΔ..(t)] (2.70)

Формула (2.70), являющаяся точной в рамках используемого подхода, оказывается весьма неудобной для практического использования, хотя бы потому, что требует двойного дифференцирования функций qi(t) (2.66) и содержит Δ..(t) в качестве слагаемого.

В связи с этим применяется следующий прием. Обращаясь к уравнению (2.64) и полагая γ<< 1, имеем:

q..i(t)= - DiΔ..(t) - ωi 2qi(t) (2.71)

Подставляя (2.71) в (2.70), получаем

Sik(t)= mkXik[q..i(t) + DiΔ..(t)] (2.72)

или с учетом (2.66)

Sik(t)= - mkXikDiωi 0t Δ..(τ)ei(t-τ)sinωi(T-τ)Dτ
(2.73)

Сопоставляя теперь формулу (2.73) с выражением (2.32), нетрудно получить выражения для максимального значения Sik

(Sik)max= Qk XikDiCW(T)
g
(2.74)

Введем коэффициент ηik определяемый выражением

ηik = Xik Dik = Xik j=1n mj Xij
j=1n mj X2ij
(2.75)

43

Для установления физического смысла коэффициента ηik, просуммируем эти коэффициенты по всем формам

i=1n  ηik = i=1n = Xik j=1n mj Xij = 1.
j=1n mj X2ij
(2.76)

Таким образом, коэффициент ηik можно трактовать как коэффициент, определяющий вклад смещения K-ой массы, происходящий по i-ой форме колебаний, в суммарное смещение. Поэтому этот коэффициент можно определить как коэффициент формы колебаний. Заметим, что в силу свойства, определяемого выражением (2.76), для коэффициентов ηik применяется термин: нормированные коэффициенты формы колебаний.

Возвращаясь к выражению (2.74), запишем его в виде

(Sik)max= Qk ηikCW(T)
g
(2.77)

Из сопоставления выражений (2.77) и (2.32) легко усматривается, что сейсмические силы, соответствующие i-ой форме собственных колебаний многомассовой расчетной схемы (рис. 2.9), и сейсмические силы, возникающие в линейном осцилляторе, отличаются лишь наличием коэффициента ηik< 1. В связи с этим, учитывая изложенное в п. 2.4, выражение (2.77) можно привести к виду

Sik = KCβiηikQk.(2.78)

Тогда буквально повторяя все сказанное выше в п. 2.4, приходим к выражению

Sik= K1K2S0ik(2.79)

где

S0ik=Q kiKψηik(2.80)

Коэффициенты K1, K2, Kψ и A были определены ранее в п. 2.4.

Формулы (2.79) и (2.80) являются основными расчетными формулами нормативного метода расчета зданий и сооружений на сейсмические воздействия, основанного на применении спектральной теории сейсмостойкости.

Остается отметить, что согласно СНиП II-7-81 при вычислении коэффициентов ηik для зданий высотой до 5 этажей с незначительно изменяющимися по высоте массами и жесткостями, что характерно для жилых

44

зданий, при Ti менее 0.4 сек, т.е. в зоне графиков спектральных кривых, (рис. 2.7), где βi = const, коэффициенты ηk допустимо вычислять по упрощенной формуле

ηk = Xk j=1n Qj Xj
j=1n Qj X2j
(2.81)

Здесь Xj- расстояние от заделки до сосредоточенной j-ой массы (рис. 2.8).

45

Rambler's Top100
Lib4all.Ru © 2010.