2.5.3. Определение сейсмических нагрузок
для системы с п степенями свободы
(нормативный метод)

Нормативный метод определения сейсмических нагрузок опирается на использование понятия спектральных кривых, введенных ранее для линейного осциллятора. Прежде чем приступить к изложению этого метода, необходимо оговорить следующее.

Во-первых, по традиции, берущей начало в самых первых работах по сейсмическим расчетам (а затем и вошедшей и в нормативные документы), следует изменить индексацию амплитудных коэффициентов формы колебаний: теперь первый индекс будет обозначать номер формы колебаний, а второй - номер сосредоточенной массы.

Во-вторых, предполагается, что учет сил сопротивления при определении частот и форм собственных колебаний системы с п степенями свободы не оказывает существенного влияния на результаты расчета, и поэтому данные параметры могут быть определены как для консервативной системы.

Вместе с тем учет сил сопротивления необходим при построении спектров ускорений (скоростей, смещений), так как в спектральной теории

40

предполагается определение максимальных значений этих параметров по каждой форме колебаний, а эти максимумы достигаются, как известно, в резонансной зоне, где учет сил сопротивления играет решающую роль.

Если следовать гипотезе неупругого сопротивления Е.С. Сорокина, то уравнения движения (2.38), (2.39) должны быть записаны в комплексной форме:

MX..→^* + (1 + γi )KX→^* + Ф→ = - MΔ..→^*,(2.38,а) LMX..→^* + (1 + γi )X→^* + LФ→ = - LMΔ..→^*(2.39,а)

Здесь звездочками отмечены комплексные функции; i- мнимая единица

При использовании метода разложений по собственным формам колебаний теперь вместо уравнений (2.57) имеем:

q..^*_i + (1 + γ i )ω_i²q_i^* = -(Q_i^* / M_i)(2.58)

Заметим, что выражению (Q_i^* / M_i) можно придать другую форму, используемую в нормативном методе. С учетом формул (2.51) и (2.55) имеем:

Qi	= Δ..(t)	j=1∑n mj Xij	= Di Δ..(t)
Mi		j=1∑nmj X2ij

(2.59)

где D_i представляют собой коэффициенты разложения единичного вектора по собственным векторам системы (собственным формам колебаний).

С учетом этого решение уравнения (2.58) при нулевых начальных условиях (действительная часть комплексной функции), определяющее обобщенную координату q_i, отвечающую i-ой форме колебаний по аналогии с (2.27) может быть записано в виде

qi = -	Di	t∫0 Δ..(τ)e  -  γω1  (t - τ) 2 sin ωi (t - τ) d τ
	ωi

(2.60)

Один из основных недостатков теории неупругого сопротивления Сорокина состоит в неудобстве использования комплексных функций при численном интегрировании уравнений движения (2.58). Поэтому в этом случае чаще прибегают к гипотезе вязкого сопротивления с соответствующим образом введенной матрицей демпфирования, определяющей вектор сил сопротивления.

Ф→ = ÑX.→.(2.61)

Обращаясь к предыдущему пункту, нетрудно заметить, что распадение связанной системы уравнений движения (2.38) на отдельные уравнения

41

(2.58) стало возможным только лишь вследствие того, что матрица масс и матрица жесткости приводится к диагональному виду с помощью одного и того же преобразования.

Следовательно, для того, чтобы и матрица демпфирования тоже приводилась к диагональному виду достаточно, как это было указано Рэлеем, представить ее в виде линейной комбинации этих матриц

C = β₁K + β₁M(2.62)

Действительно, в этом случае уравнения движения записываются в виде

M X..→ + (β₁K + β₁M)X.→ + KX^→ = - MΔ..−(2.63)

и производя преобразования, описанные выше, получаем:

q.._i + (β₁ω_i² + β₂)q._i + ω_i²q_i = - D_iΔ..(2.64)

Коэффициенты матрицы демпфирования Рэлея (2.62) подбираются из условия, чтобы для двух характерных форм колебаний с частотами ω_i и ω_j и известными коэффициентами сопротивления выполнялись условия равенства быстроты затухания колебаний:

2α_i = β₁ω_i² + β₂ = γ_iω_i
2α_j = β₁ω_j² + β₂ = γ_jω_j(2.65)

Если следовать теории неупругого сопротивления, то γ_i=γ_j Вместе с тем выражения (2.65) приближенно учитывают суммарный эффект демпфирования для каждой формы колебаний, который может быть различным для различных форм [18].

Теперь с учетом введенных обозначений решение уравнений (2.64) для i- ой обобщенной координаты q_i, соответствующее i-ой форме собственных колебаний при нулевых начальных условиях может быть записано в виде:

qi(t) = -	Di	0∫t Δ..(τ)eαi(t - τ) sin ωi (t - τ) dτ
	ωi

(2.66)

где α _i = γω_i/2

Зная амплитудные коэффициенты i-ой формы и соответствующие обобщенные координаты, в соответствии с (2.42) относительное перемещение K-ой массы можно представить в следующем виде:

Xko(t) = i=1∑n  Xikqi = - i=1∑n	Di Xik	0∫tΔ..(τ)e-αi(t - τ)sin ωi(t - τ) dτ
	ωi

(2.67)

42

Полное перемещение K-ой массы с учетом введенных выше коэффициентов D _i определяется следующим образом:

Xk(t)=

i=1∑n

Xik[qi(t)+DiΔ(t)]

(2.68)

Тогда ускорение K-ой массы будут равны

Wk(t) = X..k(t) =

i=1∑

Xik[q..i(t)+DiΔ..(t)]

(2.69)

Теперь можно вычислить инерционную (сейсмическую) силу, действующую на k-ую массу при колебаниях по i-ой форме

S_ik(t)= - m_kX_ik[q.._i(t) + D_iΔ..(t)] (2.70)

Формула (2.70), являющаяся точной в рамках используемого подхода, оказывается весьма неудобной для практического использования, хотя бы потому, что требует двойного дифференцирования функций q_i(t) (2.66) и содержит Δ^..(t) в качестве слагаемого.

В связи с этим применяется следующий прием. Обращаясь к уравнению (2.64) и полагая γ<< 1, имеем:

q.._i(t)= - D_iΔ..(t) - ω_i ²q_i(t) (2.71)

Подставляя (2.71) в (2.70), получаем

S_ik(t)= m_kX_ik[q.._i(t) + D_iΔ^..(t)] (2.72)

или с учетом (2.66)

Sik(t)= - mkXikDiωi

0∫t

Δ..(τ)e-αi(t-τ)sinωi(T-τ)Dτ

(2.73)

Сопоставляя теперь формулу (2.73) с выражением (2.32), нетрудно получить выражения для максимального значения S_ik

(Sik)max=	Qk	XikDiCW(T)
	g

(2.74)

Введем коэффициент η_ik определяемый выражением

ηik = Xik Dik =	Xik j=1∑n mj Xij
	j=1∑n mj X2ij

(2.75)

43

Для установления физического смысла коэффициента η_ik, просуммируем эти коэффициенты по всем формам

i=1∑n  ηik = i=1∑n =	Xik j=1∑n mj Xij	= 1.
	j=1∑n mj X2ij

(2.76)

Таким образом, коэффициент η_ik можно трактовать как коэффициент, определяющий вклад смещения K-ой массы, происходящий по i-ой форме колебаний, в суммарное смещение. Поэтому этот коэффициент можно определить как коэффициент формы колебаний. Заметим, что в силу свойства, определяемого выражением (2.76), для коэффициентов η_ik применяется термин: нормированные коэффициенты формы колебаний.

Возвращаясь к выражению (2.74), запишем его в виде

(Sik)max=	Qk	ηikCW(T)
	g

(2.77)

Из сопоставления выражений (2.77) и (2.32) легко усматривается, что сейсмические силы, соответствующие i-ой форме собственных колебаний многомассовой расчетной схемы (рис. 2.9), и сейсмические силы, возникающие в линейном осцилляторе, отличаются лишь наличием коэффициента η_ik< 1. В связи с этим, учитывая изложенное в п. 2.4, выражение (2.77) можно привести к виду

S_ik = K_Cβ_iη_ikQ_k.(2.78)

Тогда буквально повторяя все сказанное выше в п. 2.4, приходим к выражению

S_ik= K₁K₂S_0ik(2.79)

где

S_0ik=Q _kAβ _iK_ψη_ik(2.80)

Коэффициенты K₁, K₂, K_ψ и A были определены ранее в п. 2.4.

Формулы (2.79) и (2.80) являются основными расчетными формулами нормативного метода расчета зданий и сооружений на сейсмические воздействия, основанного на применении спектральной теории сейсмостойкости.

Остается отметить, что согласно СНиП II-7-81 при вычислении коэффициентов η_ik для зданий высотой до 5 этажей с незначительно изменяющимися по высоте массами и жесткостями, что характерно для жилых

44

зданий, при T_i менее 0.4 сек, т.е. в зоне графиков спектральных кривых, (рис. 2.7), где β_i = const, коэффициенты η_k допустимо вычислять по упрощенной формуле

ηk =	Xk j=1∑n Qj Xj
	j=1∑n Qj X2j

(2.81)

Здесь X_j- расстояние от заделки до сосредоточенной j-ой массы (рис. 2.8).

45