2.5.2. Применение метода разложения по собственным
формам колебаний

Для решения системы уравнений (2.38) или (2.39) используем известный в динамике сооружений метод представления решения в виде разложения по собственным формам колебаний.

Представим искомое решение в виде

X=Vq. (2.40)

Здесь V - матрица, составленная из собственных векторов системы уравнений движения VTK = {X1k, X2k,…,Xnk}:

V =
 X11 X12 X1n
 X21 X22 X2n
 ... ... ... ...
 Xn1 Xn2 Xnn 
(2.41)

q - вектор обобщенных (главных) координат:

q T(t) = {q1(t), q2(t),...,qn(t)},

37

Напомним, что величины XKi представляют собой амплитудные значения перемещений к-ой массы при колебаниях системы по i-ой собственной (главной) форме и называются амплитудными коэффициентами формы.

qi(t) - функция времени, определяющие закон изменения во времени амплитудных коэффициентов формы. Причем, как известно, собственные векторы обладают свойством обобщенной ортогональности, т.е.

k=1n m kXkiXkj=0
при i≠j

Таким образом, исходя из (2.40), имеем

Xk= Xk1q1(t)+Xk2q2(t)+...+Xknqn(t)= i=1n Xkiqi(t)
(2.42)

Иллюстрация этого представления приведена на рис. 2.9 для системы с пятью степенями свободы.

Рис. 2.9. Главные (собственные) формы колебаний системы с 5-ю степенями свободы
Рис. 2.9. Главные (собственные) формы колебаний системы
с 5-ю степенями свободы

Собственные векторы системы с п степенями свободы определяются из решения алгебраических задач на собственные значения

K Xi - ωi2M  Xi = 0 (2.43)

если используется система уравнений движения (2.38),

или

LM Xi - (1/ωi2)  Xi = 0 (2.44)

если используется система уравнений (2.39).

Здесь ωi, - собственные частоты колебаний. В развернутом виде эта система уравнений записывается следующим образом:

11m1i)X1i+ δ12m2X2i+ ... + δ1nmnXni = 0,
δ21m1X1i+ 22m2i)X2i+ ...+ δ2nmnXni= 0,
... ... ...
δn1m1X1i+ δn2m2X2i+ ... + nnmni)Xni= 0,
(2.45)

где λi= 1/ωi2.

38

Для вывода уравнений, определяющих обобщенные координаты qi, удобнее воспользоваться формой представления уравнений движения в виде (2.38).

Подставляя сюда (2.40) и умножая слева на матрицу VT , получаем
= 0):

VTM V q.. + VTK Vq = - VTM Δ.. (2.46)

Заметим, что в данном случае задача на собственные значения формулируется в виде

KV-MVΩ2 = 0,(2.47)

где Ω2 - диагональная матрица частот собственных колебаний:

Ω2 =
ω12      
  ω22    
    ...  
      ωn2
(2.48)

С учетом ортогональности форм собственных колебаний (2.42) для произведения матриц VTM V можно получить следующее представление

VTM V=Mq(2.49)

где Мq - диагональная матрица обобщенных масс

Мq =
M1      
  M2    
    ...  
      Mn
(2.50)

Мi - обобщенные массы, определяемые выражением

Mk= i=1n miXik2
(2.51)

Тогда с учетом (2.47) и (2.49), имеем

VtKV = VTM VΩ2 =MqΩ2=Kq (2.52)

Диагональная матрица Kq называется матрицей обобщенной жесткости и легко определяется с помощью формул (2.48) и (2.50)

Kq =
M1ω12      
  M2ω22    
     ...    
      Mnωn2
(2.53)

39

Введем представление

VTM Δ.. = Q ,(2.54)

где компоненты вектора Qопределяются выражением

QK = Δ.. i=1n miXik
(2.55)

Тогда нетрудно показать, что система уравнений (2.46) распадается на п независимых уравнений, каждое из которых определяет обобщенную координату qi отвечающую i-ой форме колебаний. Действительно, используя введенные представления, записываем (2.46) в виде

Mqq.. + Kqq = - Q. (2.56)

Учитывая диагональное строение матриц Мq (2.50) и Kq (2.53), имеем

q..i + ωi2qi = - (Qi / Mi)(2.57)

Таким образом, задача построения решения уравнений движения системы с п степенями свободы сводится к решению задачи для линейного осциллятора, описанного выше.

40

Rambler's Top100
Lib4all.Ru © 2010.