2.5. Определение сейсмических нагрузок для систем
со многими степенями свободы

2.5.1. Дифференциальные уравнения колебаний системы
со многими степенями свободы

Рис. 2.8. Расчетная схема системы со многими степенями свободы
Рис. 2.8. Расчетная схема системы со многими степенями свободы

Для определенности в качестве расчетной схемы системы со многими степенями свободы будем рассматривать консольный стержень с п сосредоточенными массами (рис. 2.8).

Обозначения на этом рисунке приняты в соответствии с обозначениями СНиП II-7-81:

QK=mKg- вес массы тк; Хк - относительное перемещение массы тк; хк - расстояние от заделки до этой массы. Используя для расчета этой системы метод перемещений, введем в узлы сосредоточенных масс упругие связи, препятствующие линейным смещениям.

Пусть rki,- реакция в K-ой упругой связи, вызванная действием единичного перемещения i-ой связи. Тогда составляя уравнение равновесия всех сил, приложенных к K-ой массе в любой момент времени движения системы, получаем

mK[X..K(t) + Δ..(t)] = - i=1n rkiXi(t) - Фk(t), (K=1,2,3...,n)
(2.37)

где Фk(t) – силы сопротивления.

Введем вектор перемещений X→T={X1,X2,…,Xn}, вектор сил сопротивления ФT={Ф12,…,Фn}, а также матрицу жесткости

K =
 r11 r12 ... r1n 
 r21 r22 ... r2n 
 ... ... ... ...
 rn1 rn2 ... rnn 

36

и диагональную матрицу масс

M =
 m1      
  m2    
    ...  
    mn 

Тогда систему уравнений (2.37) можно записать в матричной форме

M X.. + K X +  Ф = -  Δ.. (2.38)

В данном случае уравнения движения системы с п степенями свободы записаны в форме метода перемещений. Для того, чтобы перейти к форме метода сил, вводим матрицу податливости

L =
 δ11 δ11 δ1n
δ21 δ22 δ2n
... ... ... ...
δn1 δn2 δnn 

причем, как известно, LK = KL = E (единичная матрица).

Умножая уравнение (2.38) слева на матрицу L, получаем

LM X.. +  X + L Ф = - LM Δ.. (2.39)

37

Rambler's Top100
Lib4all.Ru © 2010.