1.2. Ученье А. Гриффитса

Теоретическая прочность материала составляет 10 ... 20 % от модуля упругости материала. Это до 100 раз больше реальной (технической) прочности стекла. Сложившееся противоречие пытался объяснить А. Гриффитс. В 1920 году опубликовал работу, послужившую началом новой науки -

11

механики разрушения. Процесс разрушения материала сопровождается развитием трещин.

Теория Гриффитса основана на законе сохранения и превращения энергии. Потенциальная энергия, накопленная телом в процессе упругого деформирования, при разрушении полностью превращается в энергию образующихся новых поверхностей.

Гриффите экспериментально установил, что прочность стеклянных волокон зависит от диаметра: чем тоньше нить, тем больше напряжения при разрыве. Экстраполируя кривую зависимости прочности от диаметра в область крайне малых диаметров, он получил прочность тончайших нитей, равную 11000 МПа, что близко к теоретической 14000 МПа.

Для объяснения этого явления было привлечено понятие концентрации напряжений. Рассмотрим это понятие. Пусть в растянутой пластине имеется отверстие, уменьшающее сечение на 10%. Напряжения на контуре отверстия увеличатся не на 10%, а примерно в 3 раза. В случае эллиптического отверстия коэффициент концентрации напряжений, равный отношению напряжений около концентратора к номинальному, определяется по формуле

К = 1 + 2а/b, (1.1)

где a, b - длина и ширина полуосей эллипса. Высвобождаемая энергия деформации

U = π σ² l² / (2F). (1.2)

Энергия, расходуемая на образование двух новых поверхностей тела у трещины,

G = 2lγ (1.3)

где γ - удельная плотность поверхностной энергии.

Начиная с некоторой критической длины, трещина высвобождает больше энергии, чем потребляет. При этом трещина развивается стремительно и безостановочно. Критическая длина 2l соответствует максимуму общей энергии:

W = 2lγ-π σ²l²/(2E)→тах. (1.4)

Из условия dW/(dl)=0 находили

2γ-σ²l /Е = 0; (1.5)

l_с = 2Еγ/π σ²;(1.6)

σ_c = √2Eγ / (πl) (1.7)

При σ < σ _с трещина не распространяется, при σ> σ _с трещина развивается безостановочно, так как для увеличения ее длины требуется меньшая нагрузка, а действующая нагрузка остается неизменной. Такое развитие трещин называют неустойчивым.

Если вместо растяжения пластины равномерной нагрузкой в центре трещины к ее берегам приложить две сосредоточенные растягивающие силы, то

P_c = √2πEγl; (1.8)

l_c = Р_с² /(2πЕγ)(1.9)

12

В этом случае имеет место устойчивый рост трещин. После превышения нагрузкой критического уровня трещина развивается постепенно и длина ее будет возрастать пропорционально квадрату величины нагрузки.

Метод податливости. Им удобно пользоваться при экспериментальном определении интенсивности освобождения энергии. Пусть в упругом теле распространяется трещина, характеризуемая интенсивностью освобождения энергии G, т.е. энергии, необходимой для образования единицы площади новой поверхности трещин

G =

dΔ dA

-

dU dA

=

P2 дλ 2дA

(1.10)

где dA - приращение площади трещины; Δ = λР - перемещение упругого тела; λ - податливость - величина, обратная жесткости; и - энергия упругой деформации.

Три основных типа трещин. Силовой подход к анализу трещин. Общий случай полей деформации и напряжений у вершины можно получить путемкомбинации трех основных типов деформации (рис. 1.3).

Тип I связан с отрывом, II - поперечным сдвигом, III - продольным сдвигом.

Коэффициенты интенсивности напряжений. Резкий толчок развитию механики разрушения дали возникшие в годы второй мировой войны и в послевоенные годы случаи разрушений корпусов кораблей и ракет, магистральных трубопроводов, мостов и т.д. Сильное впечатление производят фотографии разлома корпусов кораблей, многокилометровые продольные разрывы трубопроводов. Механика разрушения призвана дать методику лабораторных испытаний и использование их при проектировании.

Такой подход был заложен Ирвином. Он преобразовал концепцию энергетического баланса Гриффитса в силовую концепцию, основанную на анализе поля напряжений у вершины трещины. Ирвин ввел понятие силы, вызывающей увеличение трещины на единицу длины. Эта сила эквивалентна интенсивности потери энергии полем напряжений у вершины трещины. Переход к интенсивному разрушению наступает в тот момент, когда у вершины трещины достигается критическая интенсивность напряжений, вычисляемая по формулам линейной теории упругости (уравнением Вестергаарда).

Важнейшим параметром уравнений является коэффициент интенсивности напряжений К, являющийся функцией приложенного напряжения и геометрии трещины. Коэффициент К полностью определяет поле напряжений у вершины трещины.

13

Для трех видов смещения трещины (рис. 1.3): отрыв, сдвиг в напряжении продвижения трещины и сдвиг в поперечном направлении определяют соответствующие коэффициенты интенсивности напряжений К₁, К₁₁ и К₁₁₁.

Концентрация напряжений зависит от реального радиуса кривизны трещины в ее вершине, который точно определить невозможно.

Решено сравнивать не сами напряжения, а величину

lims→0( σ_y √s ), (1.11)

где s - малое расстояние по линии трещины от ее вершины до некоторой точки, где действует напряжение σ _y.

Этот предел получил название коэффициента интенсивности напряжений. Размерность его [FL^-3/2]. Для растянутой равномерно распределенной нагрузкой пластины с трещиной

K₁ = σ√π l. (1.12)

В момент локального разрушения коэффициенты К₁, К₁₁ и К₁₁₁ считаются равными критическим величинам. При плоском напряженном состоянии

K_1c = √2 Eγ, (1.13)

при плоской деформации

K_1c = √2Eγ / √(1 - v²). (1.14)

Величина К₁ рассматриваетсякак некоторая постоянная материала. Из условий К ₁ = К _1c имеем:

√2Eγ = σ_c √πl; (1.15)

√2Eγ = P_c √πl, (1.16)

откуда

σ_c = √2Ev / (πl); (1.17)

P_c = √2πEγl. (1.18)

14